Найди два числа, если:
а) их сумма равна 15, а разность − 3;
б) разность этих чисел равна 48, а сумма − 132;
в) сумма чисел равна c, а разность − d;
г) разность чисел равна x, а сумма − y.

Для решения задачи, связанной с поиском двух чисел при известных их сумме и разности, полезно разъяснить основные математические принципы и методы, которые применяются. Мы будем рассматривать общую теоретическую часть, которая применима ко всем случаям, указанным в задаче.

Теоретическая часть:

1. Что такое сумма и разность чисел?

   • Сумма двух чисел — это результат их сложения. Если два числа обозначить как $a$ и $b$, то их сумма записывается как $a + b = \text{сумма}$.
   • Разность двух чисел — это результат их вычитания. Если те же числа $a$ и $b$, то разность записывается как $a - b = \text{разность}$.

2. Система уравнений для поиска двух чисел:
   Чтобы найти два числа, зная их сумму и разность, нужно составить систему уравнений. Мы обозначим эти два числа через $x$ и $y$. Тогда:

   • Уравнение для суммы чисел: $x + y = \text{сумма}$
   • Уравнение для разности чисел: $x - y = \text{разность}$

Получается система двух линейных уравнений:
$$ x + y = \text{сумма} $$
$$ x - y = \text{разность} $$

1. Решение системы уравнений: Для решения этой системы можно использовать метод сложения или метод подстановки.

• Метод сложения: Сложим оба уравнения системы: $$ (x + y) + (x - y) = \text{сумма} + \text{разность} $$ Здесь $y$ и $-y$ взаимно уничтожаются, и остается: $$ 2x = \text{сумма} + \text{разность} $$ То есть, первое число $x$ можно найти как: $$ x = \frac{\text{сумма} + \text{разность}}{2} $$

Теперь вычтем одно уравнение из другого:
$$ (x + y) - (x - y) = \text{сумма} - \text{разность} $$
Здесь $x$ и $-x$ взаимно уничтожаются, и остается:
$$ 2y = \text{сумма} - \text{разность} $$
То есть, второе число $y$ можно найти как:
$$ y = \frac{\text{сумма} - \text{разность}}{2} $$

• Метод подстановки: Из одного из уравнений выразим $x$ через $y$, а затем подставим это выражение в другое уравнение. Например: $$ x = \text{сумма} - y $$ Подставим это выражение в уравнение для разности: $$ (\text{сумма} - y) - y = \text{разность} $$ Упростим уравнение: $$ \text{сумма} - 2y = \text{разность} $$ Отсюда найдем $y$: $$ y = \frac{\text{сумма} - \text{разность}}{2} $$ Затем подставляем $y$ обратно в выражение $x = \text{сумма} - y$, чтобы найти $x$.

1. Проверка решения:
   После того как найдены числа $x$ и $y$, их значения можно проверить, подставив обратно в первоначальные уравнения для суммы и разности:

   • Проверка суммы: $x + y = \text{сумма}$
   • Проверка разности: $x - y = \text{разность}$

2. Общие формулы:
   Если сумма чисел равна $c$, а разность — $d$, то числа можно выразить через $c$ и $d$ следующим образом:

   • Первое число: $x = \frac{c + d}{2}$
   • Второе число: $y = \frac{c - d}{2}$

Если разность чисел равна $x$, а сумма — $y$, то числа можно выразить аналогично:
− Первое число: $a = \frac{y + x}{2}$
− Второе число: $b = \frac{y - x}{2}$

Эти формулы универсальны и применимы ко всем случаям задачи.