В классе 25 учеников уже прочитали повесть о Малыше и Карлсоне, а 23 ученика − повесть о Винни−Пухе и его друзьях, причем 18 человек прочитали обе эти повести. Сколько всего учеников в классе, если каждый ученик прочитал хотя бы одну из этих книг?

Для решения этой задачи мы используем понятия теории множеств и принцип включения−исключения. Давайте разберём теоретическую часть.

Теория:

Множества:

Множество — это совокупность элементов, объединённых по некоторому признаку. В данной задаче рассматриваются два множества:
− $ K $ — множество учеников, которые прочитали повесть о Малыше и Карлсоне.
− $ V $ — множество учеников, которые прочитали повесть о Винни−Пухе и его друзьях.

Пересечение множеств:

Пересечение множеств — это множество, состоящее из элементов, которые одновременно принадлежат обоим множествам. В задаче пересечение $ K \cap V $ — это ученики, которые прочитали обе повести. Число таких учеников равно 18.

Объединение множеств:

Объединение множеств — это множество, содержащее элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств. В данной задаче объединение множеств $ K \cup V $ — это ученики, которые прочитали хотя бы одну из двух повестей. Нужно найти количество таких учеников.

Принцип включения−исключения:

Для подсчёта количества элементов в объединении двух множеств используется формула:
$$ |K \cup V| = |K| + |V| - |K \cap V| $$
Где:
− $ |K \cup V| $ — количество элементов в объединении множеств $ K $ и $ V $.
− $ |K| $ — количество элементов множества $ K $ (ученики, которые прочитали повесть о Малыше и Карлсоне).
− $ |V| $ — количество элементов множества $ V $ (ученики, которые прочитали повесть о Винни−Пухе и его друзьях).
− $ |K \cap V| $ — количество элементов в пересечении множеств $ K $ и $ V $ (ученики, которые прочитали обе повести).

Почему мы вычитаем пересечение?

Когда мы складываем $ |K| $ и $ |V| $, ученики, которые прочитали обе повести (пересечение множества $ K \cap V $), учитываются дважды. Чтобы учесть их только один раз, мы вычитаем $ |K \cap V| $.

Пример применения формулы:

Если известно:
− $ |K| = 25 $ — количество учеников, прочитавших первую повесть.
− $ |V| = 23 $ — количество учеников, прочитавших вторую повесть.
− $ |K \cap V| = 18 $ — количество учеников, прочитавших обе повести.

Тогда можно подставить эти значения в формулу для вычисления объединения множеств:
$$ |K \cup V| = 25 + 23 - 18 $$

Таким образом, используя принцип включения−исключения, можно найти количество учеников, прочитавших хотя бы одну из повестей.