Возраст старика Хоттабыча записывается числом с разными цифрами. Известно, что:
а) если первую цифру и последнюю цифру зачеркнуть, то получится наименьшее из двузначных чисел, сумма цифр которых равна 13;
б) первая цифра больше последней в 4 раза. Сколько лет Хоттабычу?

Для решения задачи необходимо провести глубокий анализ условий и использовать базовые математические операции. В этой задаче задействован концептуальный подход к числам, их свойствам и взаимосвязям.

Теоретическая часть

1. Разбор чисел с разными цифрами:
   В задаче указано, что возраст Хоттабыча записывается числом с разными цифрами. Это означает, что каждая цифра в числе уникальна и не повторяется. То есть, если возраст Хоттабыча, например, записан как трёхзначное число, то его цифры — первая, вторая и последняя — различны.

2. Двузначные числа и их свойства:
   Указано, что при зачёркивании первой и последней цифры числа Хоттабыча получается наименьшее двузначное число, сумма цифр которого равна 13.
   Двузначное число можно записать в общем виде:
   $ AB = 10A + B $, где $ A $ — цифра десятков, а $ B $ — цифра единиц.
   Сумма цифр такого числа равна $ A + B $.
   Чтобы найти числовое значение, нужно рассмотреть все двузначные числа, для которых $ A + B = 13 $, и выбрать наименьшее из них.

3. Сравнение первой и последней цифры:
   В задаче также указано, что первая цифра больше последней в 4 раза. Пусть первая цифра числа — $ X $, а последняя цифра — $ Y $. Математически это выражается как:
   $ X = 4Y $.
   Важно помнить, что $ X $ и $ Y $ — цифры, то есть целые числа от 0 до 9.

4. Составление числа Хоттабыча:
   Возраст Хоттабыча — это многозначное число (скорее всего, трёхзначное, но может быть и больше), которое состоит из первой цифры ($ X $), промежуточных цифр, наименьшего двузначного числа и последней цифры ($ Y $).
   Для нахождения возраста понадобится учесть все условия задачи.

5. Алгоритм решения задачи:

   • Найти наименьшее двузначное число, сумма цифр которого равна 13.
   • Определить первую и последнюю цифры числа Хоттабыча, используя соотношение $ X = 4Y $.
   • Составить возраст Хоттабыча, объединяя найденные значения в одно число.

6. Ограничения для первой и последней цифры:
   Условие $ X = 4Y $ накладывает ограничения на значения $ X $ и $ Y $. Поскольку $ X $ и $ Y $ — цифры:

   • $ Y $ может принимать значения от 0 до 9.
   • $ X $, равное $ 4Y $, также должно быть цифрой, то есть $ X $ находится в диапазоне от 0 до 9. Отсюда следует, что $ Y $ может быть только 0, 1 или 2, чтобы $ X $ оставалось цифрой.

7. Проверка числа Хоттабыча:
   После составления числа необходимо проверить, соответствует ли оно всем условиям задачи:

   • Записано ли оно различными цифрами?
   • Получается ли наименьшее двузначное число с суммой цифр 13 при зачёркивании первой и последней цифры?

Эти теоретические шаги помогут решить задачу, учитывая все её условия и ограничения.