Задача−рассказ "У школьного окна"
Однажды во время прогулки учительница сказала ребятам:
−Посмотрите внимательно на окно своего класса и скажите, сколько прямоугольников в нем образуется?
−Шесть, − послышался быстрый ответ.
−Нас интересует не количество стекол, − продолжала учительница, − а различные прямоугольники, которые здесь получаются.
Помоги ребятам сосчитать все прямоугольники образованные в проеме окна.

Для решения задачи о подсчёте прямоугольников, которые образуются в оконной раме, необходимо применить принципы комбинаторики, внимательное наблюдение и систематический подход. Давайте разберём теоретическую часть, чтобы понять, как решить задачу.

Понятия, которые важно знать:

1. Прямоугольник:

   • Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые (90 градусов). В данной задаче прямоугольниками считаются области, заключённые между линиями оконной рамы.

2. Комбинаторика:

   • Чтобы определить количество прямоугольников, нужно учитывать все возможные комбинации линий, которые определяют границы прямоугольников. Эти линии могут быть горизонтальными и вертикальными.

Теоретические шаги:

1. Изучение структуры окна:

• На изображении окна видно, что оно разделено на определённое количество частей с помощью линий. Линии делятся на:
  • Горизонтальные линии: Делят окно на горизонтальные части.
  • Вертикальные линии: Делят окно на вертикальные части.
• Число прямоугольников зависит от количества горизонтальных и вертикальных линий, поскольку каждый прямоугольник образуется пересечением этих линий.

2. Определение количества линий:

• Подсчитайте количество горизонтальных линий. Обычно они включают верхнюю и нижнюю границу окна, а также все внутренние разделения.
• Подсчитайте количество вертикальных линий. Аналогично, это включает левую и правую границы окна и внутренние разделения.

3. Формирование прямоугольников:

• Любой прямоугольник состоит из двух горизонтальных линий (верхней и нижней границы) и двух вертикальных линий (левой и правой границы). Таким образом, для подсчёта всех прямоугольников нужно выбрать любые две горизонтальные линии и любые две вертикальные линии.

4. Применение комбинаторики:

• Для выбора двух линий из заданного количества горизонтальных линий используется формула: $$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ где $n$ — общее число линий, $k$ — количество линий, которые нужно выбрать.
• Аналогично для вертикальных линий.
• После выбора двух горизонтальных и двух вертикальных линий мы получаем один конкретный прямоугольник.

5. Всего прямоугольников:

• Чтобы найти общее количество прямоугольников, необходимо умножить количество способов выбрать две горизонтальные линии на количество способов выбрать две вертикальные линии: $$ \text{Общее количество прямоугольников} = C(h, 2) \times C(v, 2) $$ где $h$ — количество горизонтальных линий, $v$ — количество вертикальных линий.

Пример применения:

Если на окне есть 3 горизонтальных линии и 4 вертикальных линии:
− Количество способов выбрать 2 горизонтальные линии:
$$ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3 $$
− Количество способов выбрать 2 вертикальные линии:
$$ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 $$
− Общее количество прямоугольников:
$$ 3 \times 6 = 18 $$

Важные шаги для задачи:

1. Подсчитайте число горизонтальных линий и вертикальных линий окна (по изображению или описанию).
2. Примените формулу комбинаторики для выбора двух линий из каждой группы.
3. Умножьте результаты, чтобы получить общее количество прямоугольников.

Этот подход поможет ребятам систематически подсчитать все возможные прямоугольники в проёме окна.