Один господин встретил знакомую семью, состоящую из деда, отца и сына, и спросил, сколько им лет. "Нам всем вместе 100 лет", − ответил за всех дед. Тогда господин спросил отца: "Ну скажите же, сколько вам лет?" − "Мне вместе с сыном 45 лет, − ответил отец, − а сын на 25 лет моложе меня". Так любопытному господину и не пришлось узнать, сколько лет каждому из них. Не сообразите ли вы?

Для решения этой задачи нам нужно использовать базовые навыки математического моделирования и алгебры, а также понимание текстовых задач.

Шаг 1. Анализ задачи

В задаче описаны три человека: дед, отец и сын. Нам даны несколько условий, которые связывают их возраста:

1. Сумма возрастов всех троих: дед + отец + сын = 100 лет.
2. Сумма возрастов отца и сына: отец + сын = 45 лет.
3. Сын на 25 лет моложе отца: сын = отец − 25.

Цель задачи — найти возраст каждого из них, используя эти условия.

Шаг 2. Введение переменных

Для удобства решения задачи введём обозначения:
− $ x $ — возраст деда,
− $ y $ — возраст отца,
− $ z $ — возраст сына.

Теперь запишем математические выражения для каждого условия:
1. $ x + y + z = 100 $ — сумма возрастов всех троих.
2. $ y + z = 45 $ — сумма возрастов отца и сына.
3. $ z = y - 25 $ — возраст сына на 25 лет меньше возраста отца.

Шаг 3. Применение подстановки

Для упрощения, мы можем выразить возраст сына ($ z $) через возраст отца ($ y $): $ z = y - 25 $. Подставим это выражение в уравнения задачи.

Уравнение 1:

Подставим $ z = y - 25 $ в первое уравнение:
$$ x + y + (y - 25) = 100. $$
Это уравнение упрощается до:
$$ x + 2y - 25 = 100, $$
или:
$$ x + 2y = 125. \tag{4} $$

Уравнение 2:

Подставим $ z = y - 25 $ в второе уравнение:
$$ y + (y - 25) = 45. $$
Это уравнение упрощается до:
$$ 2y - 25 = 45, $$
или:
$$ 2y = 70. \tag{5} $$

Шаг 4. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть два ключевых уравнения:
1. $ x + 2y = 125 $ (уравнение 4),
2. $ 2y = 70 $ (уравнение 5).

Мы можем найти значения $ x $, $ y $, и $ z $ путём подстановки и вычислений.

Теоретическая основа

1. Системы уравнений: Для решения задачи мы используем метод подстановки, который позволяет выразить одну переменную через другую и затем заменить её в остальных уравнениях.
2. Арифметические операции: Умение складывать, вычитать, умножать и делить числа важно для упрощения уравнений.
3. Логика текстовых задач: Внимательное чтение условия задачи позволяет перевести текст в математические выражения.

Таким образом, после подстановки и упрощения мы сможем найти возраста деда, отца и сына.