В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий язык − 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучат эти иностранные языки? Сколько человек изучат только английский язык и сколько изучают только немецкий язык?

Для решения задачи необходимо использовать понятия множеств и операции над ними. Мы будем опираться на следующие определения и правила:

1. Множества:
   Множество — это группа объектов, которые имеют общие характеристики или свойства.
   В данной задаче:

   • Множество $ A $ — это ученики, изучающие английский язык (25 человек).
   • Множество $ H $ — это ученики, изучающие немецкий язык (27 человек).
   • Пересечение множеств $ A \cap H $ — это ученики, изучающие одновременно английский и немецкий языки (18 человек).

2. Пересечение множеств:
   Пересечение множеств $ A \cap H $ включает элементы, общие для обоих множеств. В данном случае это ученики, изучающие одновременно английский и немецкий языки.

3. Объединение множеств:
   Объединение множеств $ A \cup H $ включает всех учеников, которые изучают хотя бы один из языков. При подсчете количества элементов в объединении двух множеств важно учитывать, что элементы пересечения $ A \cap H $ не должны учитываться дважды.

Формула для вычисления количества элементов в объединении двух множеств:
$$ |A \cup H| = |A| + |H| - |A \cap H| $$
где $ |A| $ — количество элементов в множестве $ A $, $ |H| $ — количество элементов в множестве $ H $, $ |A \cap H| $ — количество элементов в пересечении $ A $ и $ H $.

1. Только английский язык:
   Ученики, изучающие только английский язык, это те, кто принадлежат множеству $ A $, но не множеству $ H $.
   Для их подсчета используем разность множеств:
   $$ |A \setminus H| = |A| - |A \cap H| $$
   где $ |A \setminus H| $ — количество учеников, изучающих только английский язык.

2. Только немецкий язык:
   Ученики, изучающие только немецкий язык, это те, кто принадлежат множеству $ H $, но не множеству $ A $.
   Для их подсчета также используем разность множеств:
   $$ |H \setminus A| = |H| - |A \cap H| $$
   где $ |H \setminus A| $ — количество учеников, изучающих только немецкий язык.

Таким образом, в задаче нужно выполнить следующие шаги:
− Найти общее количество учеников, изучающих хоть один язык ($ |A \cup H| $).
− Найти количество учеников, изучающих только английский язык ($ |A \setminus H| $).
− Найти количество учеников, изучающих только немецкий язык ($ |H \setminus A| $).