Легенда о шахматной игре
Игра в шахматы была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с ней, он был восхищен остроумием ее создателя и разнообразием возможных в ней комбинаций.
Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
− Я желаю достойно наградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, − сказал царь.
Мудрец поклонился.
− Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, − продолжал царь. − Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
Сета молчал.
− Не робей, − ободрил его царь. − Выскажи свое желание, я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
Когда Сета объявил наконец свое желание, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
− Повелитель, − сказал Сета, − прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую клетку − два зерна, за третью − 4 зерна, за четвертую − 8 зерен, за пятую − 16...
− Довольно, − с раздражением прервал его царь, − ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца. Вечером, отходя ко сну, царь осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул дворец?
− Повелитель, − ответили ему, − математически твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.
− Почему медлят с этим делом? − гневно воскликнул царь. − Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.
Утром старшина придворных математиков доложил царю результаты подсчета.
− Не в твой власти, повелитель, исполнять, подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, которое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, прикажи превратить царства в пахотные поля, прикажи растопить льды и снега, осушить моря и океаны и все пространство их сплошь засеять пшеницей. И все, что родится, отдать Сете. Тогда он получит свою награду.
С изумлением внимал царь словам старца.
− Назови же мне это чудовищное число! − воскликнул он.
− Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!
Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, − неизвестно, но что награда, о которой говорит предание, должна быть выразиться именно таким числом, в этом ты сам можешь убедиться терпеливым подсчетом. Для этого нужно сложить числа 1, 4, 8 и т.д., результат 63−го удвоения покажет, сколько причиталось изобретателю за 64 клетки доски.
Есть одно замечательно свойство чисел, которое позволяет облегчить вычисления: искомая сумма равна произведению 64 двоек, уменьшенному на 1. Образовав из множителей 6 групп по 10 двоек в каждой и одну группу из 4 двоек, получим, что искомое число равно:
1024 * 1024 * 1024 * 1024 * 1024 * 1024 * 16 − 1.
Попробуй подсчитать!

Чтобы решить задачу, представим процесс вычисления количества зерен как последовательность сложения и удвоения. Мы работаем с геометрической прогрессией, где каждый элемент больше предыдущего в два раза.

1. Понимание геометрической прогрессии:

   • В геометрической прогрессии каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на постоянное число (в данном случае, на 2).
   • Формула общего элемента геометрической прогрессии: $ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} $, где $ a_1 $ — первый элемент, $ r $ — знаменатель прогрессии (здесь $ r = 2 $), а $ n $ — номер элемента.

2. Применение к задаче:

   • Первый элемент (зерно на первой клетке) равен 1, то есть $ a_1 = 1 $.
   • Так как количество зерен на каждой следующей клетке вдвое больше, чем на предыдущей, каждый элемент прогрессии будет $ 1, 2, 4, 8, 16, \ldots $.

3. Вычисление суммы зерен на 64 клетках:

   • Сумма первых $ n $ членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

$$ S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} $$

где $ S_n $ — сумма первых $ n $ членов.

• Здесь $ a_1 = 1 $, $ r = 2 $, и $ n = 64 $.

1. Подсчет:
   • Подставляем числа в формулу:

$$ S_{64} = 1 \times \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1 $$

• Это означает, что общее количество зерен равно $ 2^{64} - 1 $.

1. Упрощение вычислений:

   • Для облегчения вычислений, $ 2^{64} $ можно выразить как произведение меньших чисел:
   • $ 2^{64} = (2^{10})^6 \times 2^4 $.

2. Промежуточные вычисления:

   • Вычисляем $ 2^{10} = 1024 $.
   • $ 2^{64} = (1024)^6 \times 16 $.
   • Подводим итог: общий результат, уменьшенный на 1, дает нам точное число зерен.

3. Понимание результатов:

   • Это число имеет колоссальный размер, что иллюстрирует рост геометрической прогрессии и объясняет, почему царь не смог бы выполнить просьбу даже с огромными запасами зерна.

Таким образом, используя свойства геометрической прогрессии и экспоненциального роста, мы можем понять, как даже небольшие начальные числа в таких прогрессиях могут быстро превратиться в астрономические величины.