Однажды Иван−царевич сражался со Змеем Горынычем. Срубил Иван−царевич у Змея Горыныча половину всех его голов, а у Змея Горыныча выросли еще 3 головы. Срубил Иван−царевич во второй раз 5 голов, а выросли еще 4 головы. Собрал Иван−царевич последние силы, срубил оставшиеся 6 голов − и победил Змея Горыныча. Сколько голов было у Змея Горыныча вначале?

Чтобы решить задачу, нам важно разобрать её на этапы и понять, каким образом происходили изменения в количестве голов у Змея Горыныча. Здесь мы будем использовать математические модели, чтобы проследить ход событий.

Идея задачи

В задаче описывается динамическое изменение количества голов у Змея Горыныча. Мы не знаем начальное количество голов, поэтому обозначим его как переменную. Далее будем поэтапно вычислять, что происходит с количеством голов после каждого действия Иван−царевича. В задаче используется операция деления (половина голов) и добавления/вычитания определенного числа голов.

Шаги решения

1. Обозначение начального количества голов.
   Чтобы начать решение, обозначим начальное количество голов у Змея Горыныча переменной, например, $ x $. Это количество голов в самом начале, до того как Иван−царевич начал сражаться.

2. Первый этап: срубание половины голов.
   Иван−царевич срубил половину всех голов. Это значит, что количество оставшихся голов после первого удара равно половине изначального количества:
   $$ \text{Оставшиеся головы после первого удара} = \frac{x}{2}. $$
   Затем у Змея Горыныча выросли еще 3 головы. После того как головы выросли, общее количество голов стало:
   $$ \text{Головы после первого этапа} = \frac{x}{2} + 3. $$

3. Второй этап: срубание 5 голов.
   Иван−царевич снова сразился и срубил 5 голов. Новое количество голов после этого момента можно записать так:
   $$ \text{Оставшиеся головы после второго удара} = \left( \frac{x}{2} + 3 \right) - 5. $$
   Затем у Змея Горыныча выросли еще 4 головы. После этого общее количество голов стало:
   $$ \text{Головы после второго этапа} = \left( \frac{x}{2} + 3 - 5 \right) + 4. $$

4. Третий этап: срубание всех оставшихся голов.
   В третьем этапе Иван−царевич срубил все оставшиеся головы. По условию задачи, к этому моменту у Змея Горыныча остались 6 голов, которые Иван−царевич срубил. Это означает, что на этом этапе количество голов равно:
   $$ \text{Оставшиеся головы после второго этапа} = 6. $$
   Подставляем выражение для количества голов из второго этапа:
   $$ \left( \frac{x}{2} + 3 - 5 \right) + 4 = 6. $$

5. Выражение для начального количества голов.
   На этом этапе мы получили уравнение, которое позволит найти начальное количество голов у Змея Горыныча, $ x $. Решив это уравнение, можно будет вычислить $ x $.

Математические навыки, используемые в задаче

1. Работа с переменными. Задача требует обозначить неизвестное количество голов переменной ($ x $) и далее работать с этой переменной в каждом этапе.
2. Основные арифметические операции. От ученика требуется использовать:
   • Деление для нахождения половины изначального количества голов.
   • Сложение и вычитание для учёта увеличения и уменьшения количества голов.
3. Составление уравнений. На основе логики задачи мы составляем уравнение, которое связывает начальное количество голов с изменениями, происходящими на каждом этапе.
4. Решение уравнений. После составления уравнения нужно решить его, упрощая выражения и выполняя обратные операции.

План решения

1. Обозначить начальное количество голов как $ x $.
2. Записать математические выражения для каждого этапа:
   • После первого удара.
   • После второго удара.
   • После третьего удара.
3. Составить уравнение, соответствующее последнему этапу (когда количество голов равно 6).
4. Решить уравнение и найти $ x $, начальное количество голов.

Логическая проверка

После нахождения значения $ x $, нужно будет проверить, соответствует ли оно всем условиям задачи. Для этого подставляем найденное значение в каждый этап решения и проверяем, что количество голов изменяется именно так, как описано в задаче.