Вычисли наиболее удобным способом:
а) 32 + 34 + 36 + 38;
б) 5 * 19 * 5 * 3 * 2 * 2;
в) 47 * 15 + 53 * 15;
г) (786 + 195) − 586;
д) 903 − 672 − 28;
е) 245 * 64 − 245 * 54.

Для решения задач, подобных этим, важно использовать математические свойства, упрощения и удобные подходы, чтобы сократить вычисления и сделать их более понятными. Рассмотрим теоретические методы, которые помогут справиться с задачами подобного рода:

Сложение нескольких чисел

Когда требуется сложить несколько чисел, можно группировать их и использовать свойства арифметики:

1. Группировка: Если числа идут подряд с одинаковым шагом (например, 32, 34, 36, 38), их сумма может быть вычислена удобным способом. В таких случаях можно найти среднее арифметическое чисел и умножить его на количество чисел. Или сгруппировать числа в пары для удобства.

   • Формула для суммы чисел с равным шагом: $ S = \text{число шагов} \times \text{среднее арифметическое} $.

2. Среднее арифметическое: Для удобства сложения можно использовать свойства парности чисел (например, сумма двух чисел $ a + b $ равна $ 2 \times \text{среднее арифметическое} $).

Умножение нескольких чисел

Когда требуется перемножать несколько чисел, важно упрощать выражение, используя правила и свойства умножения.

1. Коммутативность и ассоциативность:

   • Перестановка множителей ($ a \cdot b = b \cdot a $) или их группировка ($ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $) помогает облегчить вычисления.

2. Объединение одинаковых множителей:

   • Если числа повторяются (например, $ 5 \cdot 5 $), их можно записать как степень ($ 5^2 $).

3. Разложение сложных множителей:

   • Если множитель — составное число, его можно разложить на простые множители и выполнять упрощение.

Распределительное свойство для упрощения выражений

Распределительное свойство умножения относительно сложения (или вычитания) выглядит так:
$$ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $$
$$ a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c $$
Это свойство часто используется для упрощения выражений с общими множителями. Если вы видите выражение вроде $ 245 \cdot 64 - 245 \cdot 54 $, можно вынести общий множитель за скобки:
$$ 245 \cdot (64 - 54) $$

Сложение и вычитание больших чисел

При сложении или вычитании больших чисел бывает удобно разбивать их на части, учитывая разрядность.

1. Разрядное представление:

   • Разложите числа на сотни, десятки и единицы для упрощения. Например: $ 786 = 700 + 80 + 6 $, $ 195 = 100 + 90 + 5 $.

2. Группировка по разрядам:

   • Складывайте или вычитайте сначала сотни, затем десятки, затем единицы.

Упрощение при работе с разностями

Когда нужно вычислить выражение с последовательным вычитанием (например, $ 903 - 672 - 28 $), важно помнить, что порядок операций влияет на результат.

1. Свойство ассоциативности:

   • Можно группировать выражения так, чтобы упрощение было удобнее: $ (903 - 672) - 28 $.

2. Промежуточные результаты:

   • Вычислите первое действие, затем второе.

Алгоритм решения задач

1. Анализ: Разберитесь в структуре выражения и найдите свойства, которые можно применить (например, общие множители или последовательность чисел с шагом).
2. Применение свойств: Используйте свойства арифметики, такие как ассоциативность, коммутативность, распределительное свойство.
3. Упрощение: Упростите выражение, чтобы сократить вычисления.
4. Проверка корректности: Убедитесь, что вы правильно применили свойства и правила.

Эти подходы позволяют решать любые задачи третьего класса более эффективно и логично.