Умножение натуральных чисел на четырехзначное, пятизначное, шестизначное и т.д. число выполняется аналогично тому, как выполняется умножение на трехзначное число, например:

Объясни, как произведены вычисления.

Для выполнения умножения натуральных чисел на многозначные числа используется способ столбиком, где вычисления производятся в несколько этапов. Рассмотрим общую теорию этого метода:

Механизм умножения столбиком

1. Постановка задачи:

   • Записываем умножаемое число (меньшее) под умножающее (большее). Если в задаче оба числа имеют приблизительно одинаковую длину, любое из них можно выбрать как первое.

2. Разложение многозначного числа на цифры:

   • Многозначное число можно представить как сумму произведений каждой цифры на её место (разряд). Например, число $1011$ можно представить как: $$ 1011 = 1000 + 10 + 1. $$

3. Пошаговое умножение каждой цифры многозначного числа:

   • Умножаем меньшее число на каждую цифру многозначного числа, начиная с младшего разряда (единиц) и постепенно переходя к старшим разрядам (десятки, сотни, тысячи и так далее). При этом результат каждого умножения записывается со сдвигом вправо на соответствующее количество разрядов.

4. Промежуточные произведения:

   • Каждое промежуточное произведение записывается в отдельной строке, с учётом разрядного сдвига, соответствующего позиции цифры многозначного числа. Например:
   • Если умножаем на единицы, то результат записывается без сдвига.
   • Если умножаем на десятки, то результат записывается со сдвигом на 1 разряд вправо.
   • Если умножаем на сотни, то результат записывается со сдвигом на 2 разряда вправо, и так далее.

5. Сложение промежуточных произведений:

   • После того как выполнены все умножения, промежуточные результаты складываются "столбиком". При сложении нужно учитывать переносы между разрядами.

Пример объяснения этапов на основе данных изображений:

Первая задача $2318 \times 1011$:

• Разложение числа $1011$: $1011 = 1000 + 10 + 1$.
• Умножение:
  • Умножаем $2318$ на $1$ (единицы): $2318$.
  • Умножаем $2318$ на $10$ (десятки): результат $23180$ записывается со сдвигом на один разряд вправо.
  • Умножаем $2318$ на $1000$ (тысячи): результат $2318000$ записывается со сдвигом на три разряда вправо.
• Сложение:
  • Все промежуточные результаты складываются: $2318 + 23180 + 2318000 = 2343498$.

Вторая задача $704500 \times 1001$:

• Разложение числа $1001$: $1001 = 1000 + 1$.
• Умножение:
  • Умножаем $704500$ на $1$ (единицы): $704500$.
  • Умножаем $704500$ на $1000$ (тысячи): результат $704500000$ записывается со сдвигом на три разряда вправо.
• Сложение:
  • Промежуточные результаты складываются: $704500 + 704500000 = 705204500$.

Третья задача $44440 \times 222200$:

• Разложение числа $222200$: $222200 = 200000 + 20000 + 2000 + 200 + 20$.
• Умножение:
  • Последовательно умножаем $44440$ на каждые цифры $222200$, соответствующие разрядам.
  • Каждое произведение записывается со сдвигом вправо, соответствующим разряду.
• Сложение:
  • Промежуточные результаты сложены и дают итог: $9874568000$.

Итог:

Умножение многозначного числа на другое многозначное выполняется через пошаговое умножение каждой цифры одного числа на другое с учётом разрядного сдвига и последующим сложением всех промежуточных результатов.