Используя цифры 5, 7, 8, запиши все возможные трехзначные числа, не повторяя одну и ту же цифру в записи числа. Сколько сотен, десятков и единиц в каждом из этих чисел?

Для решения этой задачи важно понять несколько ключевых моментов, связанных с построением чисел, их разрядностью, а также способами подсчета таких чисел.

Теоретическая часть:

1. Разрядный состав числа
   Любое трехзначное число состоит из трех разрядов: сотен, десятков и единиц. Возьмем, например, число $572$:

   • Цифра $5$ обозначает число сотен. Это значит, что $5 \times 100 = 500$.
   • Цифра $7$ обозначает число десятков. Это значит, что $7 \times 10 = 70$.
   • Цифра $2$ обозначает число единиц. Это значит, что $2 \times 1 = 2$. Сумма всех этих компонентов дает само число: $500 + 70 + 2 = 572$.

2. Перестановки цифр
   В задаче даны три разные цифры: $5$, $7$ и $8$. Требуется использовать их для составления всех возможных трехзначных чисел.
   Поскольку цифры не должны повторяться в составе одного числа, мы решаем задачу, связанную с перестановками без повторений.

Для трех различных цифр общее число перестановок определяется по формуле:
$$ P_n = n! $$
где $n!$ (читается как "факториал $n$") — это произведение всех натуральных чисел от $1$ до $n$.
Для $n = 3$:
$$ P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $$
Это означает, что мы можем составить 6 различных чисел.

1. Составление чисел вручную Перестановки можно выписать вручную по определенному алгоритму:
   • Выбираем одну цифру для разряда сотен.
   • Из оставшихся двух цифр выбираем одну для разряда десятков.
   • Последняя оставшаяся цифра автоматически становится единицей.

Пример:
− Если цифра $5$ стоит в разряде сотен, то оставшиеся цифры $7$ и $8$ могут переставляться между разрядами десятков и единиц, давая два числа: $578$ и $587$.
− Аналогично поступаем, если цифра $7$ или $8$ занимает разряд сотен.

1. Проверка разрядного состава
   После записи числа мы можем уточнить его разрядный состав:

   • Первая цифра числа — это количество сотен.
   • Вторая цифра числа — это количество десятков.
   • Третья цифра числа — это количество единиц. Например, для числа $578$:
   • $5$ сотен ($5 \times 100 = 500$),
   • $7$ десятков ($7 \times 10 = 70$),
   • $8$ единиц ($8 \times 1 = 8$).

2. Обобщение и выводы
   После составления всех чисел и анализа их разрядного состава мы можем увидеть, что:

   • Каждая цифра ($5$, $7$, $8$) поочередно занимает разряд сотен, десятков и единиц.
   • Все числа отличаются порядком расположения цифр, но их общий состав остается неизменным ($5$, $7$, $8$).

Таким образом, задача решается путем перебора всех возможных перестановок трех цифр и анализа их разрядного состава.