1 м O 10 дм;
1 м O 10 см;
1 $дм^2$ O 10 $см^2$;
1 дм O 10 см;
1 дм O 10 мм;
1 $см^2$ O 100 $мм^2$.

Для решения задач на тему измерения длин, площадей и их единиц, важно хорошо понимать взаимосвязь и соотношения между различными единицами измерения. Эти соотношения базируются на десятичной системе, которая упрощает преобразования между единицами. Разберем каждую из отношений подробно.

1. 1 метр (м) и 10 дециметров (дм):

• В системе измерения длин используется базовая единица — метр (м). Метры делятся на более мелкие части: дециметры, сантиметры и миллиметры.
• 1 метр состоит из 10 равных частей, каждая из которых называется дециметром (дм). Следовательно: $$ 1 \, м = 10 \, дм $$

Это означает, что если у нас есть, например, 2 метра, то это будет 2 × 10 дм = 20 дм. Чтобы перевести из метров в дециметры, нужно умножить на 10. В обратную сторону — делить на 10.

2. 1 метр (м) и 10 сантиметров (см):

• Во втором утверждении наблюдается ошибка. На самом деле, 1 метр равен не 10 сантиметрам, а 100 сантиметрам:
  $$ 1 \, м = 100 \, см $$

• Если у вас есть длина в метрах, чтобы перевести её в сантиметры, нужно умножить на 100. Например, 3 метра — это 3 × 100 = 300 см. Если нужно перевести сантиметры обратно в метры, делим на 100.

3. 1 квадратный дециметр ($дм^2$) и 10 квадратных сантиметров ($см^2$):

• Утверждение неверное. На самом деле, 1 квадратный дециметр содержит 100 квадратных сантиметров. Давайте разберемся.

• Когда мы говорим о площади, мы измеряем длину в двух направлениях: по горизонтали и по вертикали. Если 1 дециметр равен 10 сантиметрам, то:
  $$ 1 \, дм^2 = 10 \, \text{см} \times 10 \, \text{см} = 100 \, см^2 $$

• Это означает, что для перевода из $дм^2$ в $см^2$ нужно умножить на 100, а для обратного перевода — разделить на 100.

4. 1 дециметр (дм) и 10 сантиметров (см):

• Дециметр (дм) — это более крупная единица измерения длины, чем сантиметр (см). 1 дециметр состоит из 10 сантиметров:
  $$ 1 \, дм = 10 \, см $$

• Например, если у нас есть 3 дм, это то же самое, что 3 × 10 = 30 см. Если нужно перевести сантиметры обратно в дециметры, делите на 10.

5. 1 дециметр (дм) и 10 миллиметров (мм):

• Здесь допущена ошибка. На самом деле, 1 дециметр равен не 10 миллиметрам, а 100 миллиметрам, поскольку:
  $$ 1 \, дм = 10 \, см, \, \text{а каждый сантиметр состоит из 10 мм.} $$
  Поэтому:
  $$ 1 \, дм = 10 \, \text{см} \times 10 \, \text{мм} = 100 \, \text{мм.} $$

• Для перевода дм в мм нужно умножить на 100, а для обратного перевода делить на 100.

6. 1 квадратный сантиметр ($см^2$) и 100 квадратных миллиметров ($мм^2$):

• Площадь измеряется в квадратных единицах. Если 1 сантиметр равен 10 миллиметрам, то:
  $$ 1 \, см^2 = 10 \, \text{мм} \times 10 \, \text{мм} = 100 \, мм^2 $$

• Для перевода из $см^2$ в $мм^2$ нужно умножить на 100, а для перевода из $мм^2$ в $см^2$ — разделить на 100.

Обобщение:

1. Всегда помните, что длины в метрической системе связаны десятичными соотношениями: 1 м = 10 дм, 1 дм = 10 см, 1 см = 10 мм.
2. Для площадей соотношения изменяются, так как они зависят от двух измерений: $ 1 \, м^2 = 10^2 \, дм^2 = 100 \, дм^2 $, $ 1 \, дм^2 = 10^2 \, см^2 = 100 \, см^2 $, $ 1 \, см^2 = 10^2 \, мм^2 = 100 \, мм^2 $.
3. Чтобы переводить между единицами измерения, используйте умножение или деление в зависимости от направления перевода.