Укажи остатки, которые могут получаться при делении числа на 4.
Варианты ответов:
1, 2, 3, 4;
1, 2, 3.

Для решения задачи о нахождении остатков при делении числа на 4 важно понимать основные понятия деления с остатком.

Теоретическая часть

Что такое деление с остатком?
При выполнении деления одного числа на другое часто получается, что делимое (число, которое делим) не делится на делитель (число, на которое делим) нацело. В таком случае результат деления можно записать в виде целой части (частного) и остатка. Остаток – это то, что остается после того, как мы разделили число нацело.

Формально:
Если $ a $ – делимое, $ b $ – делитель, $ q $ – частное (целая часть результата деления), $ r $ – остаток, то:
$$ a = b \cdot q + r, $$
где $ 0 \leq r < b $.

Что означает условие $ 0 \leq r < b $?
Остаток при делении всегда меньше делителя, но не может быть отрицательным. Это важное правило деления с остатком.

Пример для понимания:
Если мы делим число 11 на 4:
− Нацело в 11 умещается 4 (по 2 раза, так как $ 4 \cdot 2 = 8 $).
− Остается остаток $ 11 - 8 = 3 $.

Таким образом:
$$ 11 = 4 \cdot 2 + 3, $$
где частное $ q = 2 $ и остаток $ r = 3 $.

Какие остатки возможны при делении на 4?
При делении любого числа на 4 возможные остатки ограничены условиями $ 0 \leq r < 4 $. Это значит, что остаток может быть только:
$$ r = 0, 1, 2, \text{или } 3. $$
Остаток 4 невозможен, потому что он равен делителю, а остаток всегда меньше делителя.

Обобщение:
Для числа $ b $, на которое выполняется деление, остаток при делении может принимать значения от $ 0 $ до $ b-1 $.

Проверка теории:

Чтобы убедиться, что остатки $ 0, 1, 2, 3 $ действительно возможны при делении на 4, можно взять несколько примеров:
1. Число 8 делится на 4 нацело, остаток $ 0 $.
2. Число 9 делится на 4, частное $ 2 $, остаток $ 1 $.
3. Число 10 делится на 4, частное $ 2 $, остаток $ 2 $.
4. Число 11 делится на 4, частное $ 2 $, остаток $ 3 $.

Таким образом, возможные остатки при делении числа на 4: $ 0, 1, 2, \text{или } 3 $.