1) Какие остатки могут получится при делении на 2? на 4? на 9? на 15?
2) Может ли при делении на 6 получиться в остатке 5? 6? 7?

Для того чтобы понять, какие остатки могут получиться при делении числа на заданное число, важно разобраться с основами арифметики, связанными с делением и остатком. Мы рассмотрим теоретическую часть, которая поможет ответить на вопросы задачи.

1. Основы деления с остатком

Когда мы делим одно число на другое, результат записывается в виде:
$$ a = b \cdot q + r $$
где:
− $ a $ — исходное число (делимое),
− $ b $ — число, на которое мы делим (делитель),
− $ q $ — частное от деления (это целое число, которое показывает, сколько раз делитель $ b $ "вмещается" в $ a $),
− $ r $ — остаток от деления.

Остаток $ r $ всегда меньше делителя $ b $ и является неотрицательным числом. То есть:
$$ 0 \leq r < b $$

2. Остатки, которые могут получаться при делении на заданное число

Деление на 2:

Когда мы делим число на 2, делитель $ b = 2 $. Согласно правилу $ 0 \leq r < b $, возможные остатки $ r $ могут быть:
$$ 0 \text{ или } 1 $$
Это связано с тем, что при делении на 2 числа делятся на два равных "класса": четные (остаток 0) и нечетные (остаток 1).

Деление на 4:

При делении на 4 делитель $ b = 4 $. Остаток $ r $ может принимать значения от 0 до 3:
$$ 0, 1, 2, \text{ или } 3 $$
Эти остатки показывают, насколько число меньше следующего числа, кратного 4.

Деление на 9:

При делении на 9 делитель $ b = 9 $. Остаток $ r $ может быть любым числом от 0 до 8:
$$ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \text{ или } 8 $$
Это значит, что остаток — это разница между числом и ближайшим меньшим числом, кратным 9.

Деление на 15:

При делении на 15 делитель $ b = 15 $. Остаток $ r $ может быть любым числом от 0 до 14:
$$ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, \text{ или } 14 $$

3. Проверка возможности получения заданных остатков

Для проверки, может ли конкретный остаток быть результатом деления на определенное число, нужно сравнить его значение с делителем $ b $. Если остаток меньше $ b $ и неотрицателен, то он возможен.

Деление на 6:

Для делителя $ b = 6 $, остаток $ r $ должен удовлетворять условию:
$$ 0 \leq r < 6 $$
То есть возможные остатки при делении на 6:
$$ 0, 1, 2, 3, 4, \text{ или } 5 $$

Теперь проверим остатки из задачи:
− Остаток 5: $ 5 < 6 $, этот остаток возможен.
− Остаток 6: $ 6 \not< 6 $, этот остаток невозможен.
− Остаток 7: $ 7 > 6 $, этот остаток также невозможен.

4. Как применять теорию

Чтобы решить задачу, важно:
1. Запомнить правило $ 0 \leq r < b $, где $ b $ — делитель.
2. Понять, что остатки — это все целые числа от 0 до $ b-1 $, включительно.
3. Сравнивать указанные остатки с делителем, чтобы определить, возможны ли они.

Эта теория дает полное понимание сути деления с остатком и позволяет анализировать любые числа и делители.