7 * 5;
5 * 9;
45 : 9;
35 : 5;
24 : 8;
27 : 9;
3 * 9 + (21 − 4);
18 : (16 − 7) * 2.

Для решения задач, связанных с арифметическими операциями, важно помнить основные правила выполнения действий и свойства чисел. Вот подробное описание теоретической части для всех операций, которые могут быть использованы в данных примерах.

Основные арифметические операции:

1. Умножение (*):

   • Умножение — это повторение сложения одинакового числа несколько раз.
   • Например, $ 7 \times 5 $ означает, что число $ 7 $ берётся $ 5 $ раз: $ 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 $.
   • Умножение обладает свойством коммутативности: $ a \times b = b \times a $, то есть порядок множителей можно менять.
   • Также оно обладает ассоциативностью: $ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $, то есть если мы умножаем три числа, можно сначала перемножить любые два из них.

2. Деление (:):

   • Деление — это операция, обратная умножению. Если $ a \times b = c $, то $ c \div b = a $.
   • Например, $ 45 \div 9 $ означает «сколько раз число $ 9 $ помещается в числе $ 45 $». Ответ — это результат деления.
   • Деление не обладает коммутативностью, то есть $ a \div b \neq b \div a $ (если $ a \neq b $).
   • Важно помнить, что на ноль делить нельзя, это не определено.

3. Сложение (+):

   • Сложение — это объединение двух чисел для получения их суммы. Например, $ 3 + 9 = 12 $.
   • Сложение обладает свойствами:
   • Коммутативность: $ a + b = b + a $.
   • Ассоциативность: $ (a + b) + c = a + (b + c) $.

4. Вычитание (−):

   • Вычитание — операция, обратная сложению. Например, $ 21 - 4 $ означает, что от числа $ 21 $ нужно отнять $ 4 $, чтобы получить результат.
   • Вычитание не обладает коммутативностью, то есть $ a - b \neq b - a $.
   • Также оно не ассоциативно: $ (a - b) - c \neq a - (b - c) $.

Очерёдность выполнения действий:

• В математике существует правило порядка операций, называемое приоритетом операций:
  1. Сначала выполняются действия в скобках.
  2. Затем выполняются умножение и деление (слева направо).
  3. После них выполняются сложение и вычитание (слева направо).

Например, для выражения $ 3 \times 9 + (21 - 4) $, сначала нужно выполнить действие в скобках ($ 21 - 4 $), затем умножение ($ 3 \times 9 $), и только после этого сложение.

Деление с остатком:

• Если число не делится на другое полностью, то результат деления будет состоять из целой части и остатка.
• Например, если $ 27 \div 9 $, результат будет целым ($ 3 $), так как $ 9 \times 3 = 27 $, и остаток равен $ 0 $.

Проверка результата:

• После выполнения операции важно убедиться в её правильности. Например, если вы нашли, что $ 45 \div 9 = 5 $, проверьте, умножив результат на делитель: $ 5 \times 9 = 45 $. Если произведение равно исходному числу, значит деление выполнено правильно.

Математические свойства для упрощения:

• Свойства умножения и деления:

  • Если умножить любое число на 1, то оно останется неизменным: $ a \times 1 = a $.
  • Если умножить любое число на 0, то результат всегда будет $ 0 $: $ a \times 0 = 0 $.
  • Деление числа на 1 не изменяет его: $ a \div 1 = a $.

• Свойства сложения и вычитания:

  • При сложении с нулём число остаётся неизменным: $ a + 0 = a $.
  • Если вычесть из числа $ 0 $, оно также останется неизменным: $ a - 0 = a $.

• Свойство распределения:

  • Умножение распределяется относительно сложения: $ a \times (b + c) = a \times b + a \times c $.

Подход к решению сложных выражений:

1. Разбейте сложное выражение на несколько частей, выделяя скобки и отдельные действия.
2. Выполните операции последовательно, соблюдая порядок действий.
3. Проверьте каждый этап вычислений, чтобы избежать ошибок.

Таким образом, используя эти теоретические знания, можно успешно решать задачи, данные в примере, и проверять их правильность.