Найди частное и остаток и выполни проверку.
65 : 9;
54 : 8;
38 : 4;
27 : 6;
85 : 9;
74 : 8;
75 : 20;
83 : 40;
14 : 20;
36 : 40.

Для решения задачи, связанной с нахождением частного и остатка, необходимо понимать несколько базовых понятий и операций. Давайте разберем каждую из них подробно.

1. Деление с остатком

Когда число (делимое) не делится на другое число (делитель) нацело, при выполнении деления получается частное и остаток. Деление с остатком записывается в виде:

A : B = Q (частное), остаток R

Где:
− $ A $ — делимое (то, что делим);
− $ B $ — делитель (на что делим);
− $ Q $ — частное (сколько раз делитель помещается в делимое);
− $ R $ — остаток (число, которое остается после деления).

2. Свойства деления с остатком

• Остаток всегда меньше делителя: $$ R < B $$ Например, если делитель равен 7, то остаток может быть только числом от 0 до 6.
• Делимое можно восстановить по формуле: $$ A = Q \cdot B + R $$ Это значит, что исходное число равно произведению частного на делитель плюс остаток.

3. Алгоритм нахождения частного и остатка

Ниже приведен пошаговый процесс выполнения деления с остатком:

1. Определение целого частного (Q): Найдите, сколько раз делитель $ B $ помещается в делимое $ A $ без превышения его значения. Для этого используйте таблицу умножения или последовательное вычитание делителя из делимого.

Например, для $ 65 : 9 $:
− $ 9 \cdot 7 = 63 $ — это меньше 65;
− $ 9 \cdot 8 = 72 $ — это уже больше 65.
Следовательно, частное $ Q $ равно 7.

1. Определение остатка (R):
   После нахождения частного умножьте делитель на частное и вычтите результат из делимого:
   $$ R = A - Q \cdot B $$
   В нашем примере:
   $$ R = 65 - (9 \cdot 7) = 65 - 63 = 2 $$
   Остаток равен 2.

2. Проверка результата:
   Подставьте найденные значения частного $ Q $ и остатка $ R $ в формулу:
   $$ A = Q \cdot B + R $$
   Если уравнение выполняется, то расчет выполнен верно.

4. Работа с числами меньше делителя

Если делимое $ A $ меньше делителя $ B $, то частное равно 0, а остаток равен самому делимому. Например:
$$ 14 : 20 $$
Здесь $ 20 > 14 $, поэтому $ Q = 0 $, а $ R = 14 $.

5. Работа с числами, кратными делителю

Если делимое делится на делитель нацело (без остатка), то частное $ Q $ находится как результат деления, а остаток $ R $ равен 0. Например:
$$ 36 : 6 $$
Здесь $ 36 $ делится на $ 6 $ без остатка, поэтому $ Q = 6 $, а $ R = 0 $.

6. Примеры для самостоятельного решения

Для понимания процесса решите задачи, используя описанные шаги. Найдите частное и остаток, а также выполните проверку для каждого примера.

Пример 1: $ 65 : 9 $
Пример 2: $ 54 : 8 $
Пример 3: $ 38 : 4 $
Пример 4: $ 27 : 6 $
Пример 5: $ 85 : 9 $
Пример 6: $ 74 : 8 $
Пример 7: $ 75 : 20 $
Пример 8: $ 83 : 40 $
Пример 9: $ 14 : 20 $
Пример 10: $ 36 : 40 $

Следуя алгоритму, вы сможете найти частное и остаток для каждого из случаев.