1) При делении одного и того же числа на 5 и на 9 получаются одинаковые частные, но при делении на 5 получается остаток 4, а деление на 9 выполняется без остатка. Какое число делили?
2) При делении одного и того же двузначного числа на 13 и на 14 получаются одинаковые частные, но при делении на 13 получается остаток 8, а при делении на 14 − остаток 4. Какое число делили?
Способ 1.
Чтобы все условия были соблюдены, надо чтобы при умножении частного на 5 и прибавлении остатка 4 получилось число, без остатка делящееся на 9.
Предположим, что частное равно 1, тогда делимое равно:
1 * 5 + 4 = 5 + 4 = 9;
9 : 9 = 1;
9 : 5 = 1 (ост.4).
Значит, делили число 9.
Способ 2.
Чтобы все условия были соблюдены, надо чтобы при вычитании 4 из делимого, делящегося на 9 без остатка, получилось число, которое делится на 5 без остатка.
Начнем с числа 9. Оно делится на 9 без остатка и при этом 9 − 4 = 5, 5 делится без остатка на 5.
9 : 9 = 1;
9 : 5 = 1 (ост.4).
Значит, делили число 9.
Чтобы все условия были соблюдены, надо чтобы при умножении частного на 13 и прибавлении остатка 8 получилось число, делящееся на 14 с остатком 4.
Предположим, что частное равно 1, тогда делимое равно:
1 * 13 + 8 = 13 + 8 = 21;
21 : 14 = 1 (ост.7) − значит, частное не может быть равно 1.
Предположим, что частное равно 2, тогда делимое равно:
2 * 13 + 8 = 26 + 8 = 34;
34 : 14 = 2 (ост.6) − значит, частное не может быть равно 2.
Предположим, что частное равно 3, тогда делимое равно:
3 * 13 + 8 = 39 + 8 = 47;
47 : 14 = 3 (ост.5) − значит, частное не может быть равно 3.
Предположим, что частное равно 4, тогда делимое равно:
4 * 13 + 8 = 52 + 8 = 60;
60 : 14 = 4 (ост.4);
60 : 13 = 4 (ост.8).
Значит, делили число 60.
Для решения таких задач важно понимать основные понятия деления с остатком, а также как свойства чисел могут быть использованы для построения уравнений. В теоретической части разберем несколько ключевых моментов, которые помогут понять и решить такого рода задачи.
1. Деление с остатком
Когда одно число $ a $ делится на другое число $ b $, результат деления можно выразить в виде:
$$ a = b \cdot q + r, $$
где:
− $ a $ — делимое,
− $ b $ — делитель ($ b > 0 $),
− $ q $ — частное (целое число, результат деления без учета остатка),
− $ r $ — остаток ($ 0 \leq r < b $).
2. Условия задачи
Задачи на деление с остатком требуют учитывать, как различные остатки и делители взаимодействуют. Часто такие задачи сводятся к системе уравнений, исходя из предоставленных условий.
3. Теория для задачи 1
В первой задаче:
− Одно и то же число $ x $ делится на 5 и 9.
− Частное в обоих случаях совпадает ($ q_1 = q_2 = q $).
− При делении на 5 получается остаток 4, а при делении на 9 остаток равен 0 (то есть делится на 9 без остатка).
Согласно формуле деления с остатком для каждого делителя:
1. Деление на 5:
$$
x = 5 \cdot q + 4,
$$
где $ q $ — одинаковое частное.
Из этих уравнений можно составить систему и найти число $ x $. Решая систему, нужно учитывать, что $ q $ — целое число.
4. Теория для задачи 2
Во второй задаче:
− Одно и то же двузначное число $ x $ делится на 13 и 14.
− Частное в обоих случаях одинаково ($ q_1 = q_2 = q $).
− Остаток при делении на 13 равен 8, а при делении на 14 равен 4.
Согласно формуле деления с остатком:
1. Деление на 13:
$$
x = 13 \cdot q + 8.
$$
Одинаковое число $ x $ должно удовлетворять обеим формулам. Следовательно, можно записать систему уравнений:
$$
13 \cdot q + 8 = 14 \cdot q + 4.
$$
После упрощения этой системы можно найти значение $ q $, а затем вычислить число $ x $.
5. Свойства чисел
В задачах на деление с остатком можно использовать свойства чисел, чтобы быстрее находить решения:
− Число делится на одно число без остатка (например, $ x $ делится на 9 в первой задаче).
− Остаток всегда меньше делителя ($ r < b $).
− Частное ($ q $) одинаково для двух делений, что упрощает уравнения.
6. Проверка решений
После нахождения ответа важно проверить, удовлетворяет ли число всем условиям задачи:
− Подставить число в оба уравнения и убедиться, что остатки и частные совпадают.
− Убедиться, что числа находятся в заданном диапазоне (например, двузначное число во второй задаче).
Эти шаги помогут полностью понять и решить задачу.
Пожауйста, оцените решение
