39 O 6 = 45;
22 O 7 = 15;
35 + 7 O 2 = 40;
40 − 25 O ☐ = 20.

Чтобы решить задачу подобного рода, важно понять, как работает математическая операция "O", которая здесь представлена без явного описания. Очевидно, "O" может быть любой операцией или набором правил, которые связывают числа в уравнении. Теоретическая часть включает следующие шаги:

1. Анализ известных операций: Убедитесь, что "O" — это не стандартная математическая операция, такая как сложение, вычитание, умножение или деление. Если она выглядит как нестандартная операция, попробуйте определить ее природу по заданным примерам.

2. Обнаружение закономерности: Исследуйте предоставленные выражения, чтобы определить, как связаны числа в каждом уравнении. Можно проверять гипотезы, например:

   • Возможно, "O" — это сложная математическая операция (например, комбинация нескольких операций).
   • Возможно, "O" — это функция (например, модуль, степень числа, округление).
   • Возможно, "O" — это логическое или арифметическое правило.

3. Шаг за шагом изучение примеров:

   • В первом уравнении: $ 39 \, O \, 6 = 45 $. Нужно понять, как числа 39 и 6 преобразуются в 45.
   • Во втором уравнении: $ 22 \, O \, 7 = 15 $. Нужно определить, как 22 и 7 дают результат 15.
   • В третьем уравнении: $ 35 + 7 \, O \, 2 = 40 $. Здесь операция "O" сочетается со сложением, что добавляет сложности. Необходимо понять, как числа 35, 7 и 2 связаны.
   • В последнем уравнении: $ 40 - 25 \, O \, \square = 20 $. Здесь нужно найти неизвестное число (обозначено как квадрат), используя правило операции "O".

4. Поиск общих черт: После анализа всех примеров постарайтесь найти общий алгоритм или закономерность, которая может объяснить, как работает "O". Это может быть, например:

   • Сложение, вычитание, умножение, деление или их комбинация.
   • Использование остатка от деления.
   • Умножение числа на фиксированное значение.
   • Применение какого−либо нестандартного правила.

5. Гипотеза: На основе анализа предложите гипотезу, описывающую операцию "O". Например:

   • $ x \, O \, y = x + y $, если результат уравнения совпадает.
   • $ x \, O \, y = |x - y| $, если результат соответствует абсолютной разности.
   • $ x \, O \, y = (x \, \% \, y) + y $, если результат связан с остатком от деления.

6. Проверка гипотезы: Примените предложенную гипотезу ко всем выражениям, чтобы убедиться, что она корректно объясняет каждое уравнение. Если хотя бы одно уравнение не соответствует гипотезе, необходимо её пересмотреть.

7. Использование обратного действия: Когда вы окончательно определите правило для операции "O", примените его для нахождения неизвестного числа (в данном случае обозначенного квадратом).

Итак, чтобы решить задачу, потребуется аналитический подход, включающий изучение примеров, формулирование гипотез и проверку правильности предложенного правила.