Натуральные числа x, y, z таковы, что значения выражений x + y, y + z, x + z − простые числа. Докажите, что среди чисел x, y, z есть по крайней мере два числа, равные 1.
Все простые числа, кроме числа 2, числа нечетные.
Представим, что среди чисел x, y, z нет двух чисел равных 1, значит каждая из сумм будет больше 2, а значит будет числом нечетным.
Чтобы в сумме получить нечетное число, одно из слагаемых должно быть числом четным, а второе нечетным.
Допустим:
x − четное число, тогда:
y − будет нечетным числом,
z − будет четным числом.
Тогда сумма x + z будет четным числом, а значит не будет простым числом.
Допустим:
x − нечетное число, тогда:
y − будет четным числом,
z − будет нечетным числом.
Тогда сумма x + z будет четным числом, а значит не будет простым числом.
Поэтому, чтобы удовлетворялось условие задачи по крайней мере два числа должны быть равны 1.
Проверим, пусть:
x = 1, y = 1, тогда:
x + y = 2 − простое число;
z − может быть любым натуральным числом на 1 меньше любого простого, например 4 (5 − 1), тогда:
y + z = 1 + 4 = 5 − простое число;
x + z = 1 + 4 = 5 − простое число.
