Пусть n − число, удовлетворяющее услови задачи.
Тогда, при умножении данного числа на 2 будет $2n = a^2$, а при умножении его на 3 будет $3n = b^3$.
Если число 2n разложить на множители, то минимум двоек будет 3, так как должно быть нечетное количество двоек:
2n = 2 * 2 * 2 * ...
Если число 3n разложить на множители, то минимум троек будет 2, так как должно быть четное количесто троек:
3n = 3 * 3 * ...
Можем получить число:
2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 8 * 9 = 72
Проверка:
$72 * 2 = 144 = 12^2$
$72 * 3 = 216 = 6^3$
Ответ: такое число существует − 72.