$\sqrt{x} = x + b$
$x - \sqrt{x} + b = 0$
$(\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} + b = 0$
Дискриминант:
D = 1 − 4b ≥ 0
Необходимое условие наличия корней:
$b ≤ \frac{1}{4}$
Значения $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = \frac{1 ± \sqrt{1 - 4b}}{2} ≥ 0$
При $b > \frac{1}{4}$ корней нет.
При $b = \frac{1}{4}$ получаем один корень:
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{4}$
При $0 ≤ b < \frac{1}{4}$ получаем два корня:
$\sqrt{x} = \frac{1 ± \sqrt{1 - 4b}}{2}$
$x = \frac{(1 ± \sqrt{1 - 4b})^2}{4}$
При $b < 0$ получаем один корень:
$\sqrt{x} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4b}}{2}$
$x = \frac{(1 + \sqrt{1 - 4b})^2}{4}$
Представим результаты анализа в виде таблицы:

$\sqrt{x} = -x + b$
$x + \sqrt{x} - b = 0$
$(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} - b = 0$
Дискриминант:
D = 1 + 4b ≥ 0
Необходимое условие наличия корней:
$b ≥ -\frac{1}{4}$
Значения $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = \frac{-1 ± \sqrt{1 + 4b}}{2} ≥ 0$
Так как $-1 - \sqrt{1 + 4b} < 0$, ∀ b, то остается только:
$\sqrt{x} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4b}}{2} ≥ 0$
Требование
$-1 + \sqrt{1 + 4b} ≥ 0$
$\sqrt{1 + 4b} ≥ 1$
$b ≥ 0$
Получаем для b
$\begin{equation*} \begin{cases} b ≥ - \frac{1}{4}&\\ b ≥ 0& \end{cases} \end{equation*}$
При b < 0 корней нет.
При b ≥ 0 получаем один корень
$x = \frac{(\sqrt{1 + 4b})^2}{4}$
Представим результаты анализа в виде таблицы: