Докажите, что в сообщающихся сосудах высоты столбов над уровнем раздела двух разнородных жидкостей (см. рис. 119) обратно пропорциональны плотностям жидкостей.
Указание. Используйте формулу для расчёта давления жидкости.

рис. 119

Чтобы доказать, что в сообщающихся сосудах высоты столбов над уровнем раздела двух разнородных жидкостей обратно пропорциональны их плотностям, нужно опираться на физические законы, в частности, закон гидростатики и свойства сообщающихся сосудов.

1. Сообщающиеся сосуды Сообщающиеся сосуды — это сосуды, соединённые между собой так, что жидкости в них могут свободно перемещаться. Основное свойство таких сосудов заключается в том, что в равновесии давления на одном уровне в обоих сосудах одинаковы (если над жидкостями отсутствует давление газа).

1. Давление жидкости Давление жидкости определяется формулой: $$ P = \rho \cdot g \cdot h, $$ где:
2. $P$ — гидростатическое давление в жидкости,
3. $\rho$ — плотность жидкости,
4. $g$ — ускорение свободного падения,
5. $h$ — высота столба жидкости.

Этот закон говорит о том, что давление в жидкости зависит от её плотности и высоты столба. Чем больше плотность или высота столба жидкости, тем больше создаваемое давление.

1. Равновесие давления в сообщающихся сосудах Когда сосуды находятся в равновесии, давление на одном уровне для обеих жидкостей одинаковое. На рисунке указано, что уровень точки $A$ и $B$ совпадает, а значит, давление жидкости в этих точках должно быть одинаковым:

$$ P_{\text{керосин}} = P_{\text{вода}}. $$

Каждую сторону этого равенства можно расписать с использованием формулы для давления:

$$ \rho_{\text{керосин}} \cdot g \cdot h_{\text{керосин}} = \rho_{\text{вода}} \cdot g \cdot h_{\text{вода}}, $$

где:
− $\rho_{\text{керосин}}$ — плотность керосина,
− $h_{\text{керосин}}$ — высота столба керосина,
− $\rho_{\text{вода}}$ — плотность воды,
− $h_{\text{вода}}$ — высота столба воды.

1. Уравнение для высот столбов В этом равенстве ускорение свободного падения $g$ одинаково для обеих жидкостей, поэтому его можно сократить:

$$ \rho_{\text{керосин}} \cdot h_{\text{керосин}} = \rho_{\text{вода}} \cdot h_{\text{вода}}. $$

Теперь выразим взаимосвязь высот столбов:

$$ \frac{h_{\text{керосин}}}{h_{\text{вода}}} = \frac{\rho_{\text{вода}}}{\rho_{\text{керосин}}}. $$

Это уравнение показывает, что высота столба одной жидкости обратно пропорциональна плотности другой жидкости.

1. Интерпретация результата Так как керосин имеет меньшую плотность, чем вода ($\rho_{\text{керосин}} < \rho_{\text{вода}}$), его столб будет выше, чтобы компенсировать меньшее давление, создаваемое керосином. В свою очередь, вода, имея большую плотность, будет образовывать более низкий столб, создавая равное давление на уровне точки $A$ и $B$.

Таким образом, высоты столбов жидкостей над уровнем раздела обратно пропорциональны их плотностям, что и требовалось доказать.