При каком условии тела массами 2 и 10 кг могут обладать одинаковой потенциальной энергией?

Для ответа на этот вопрос нужно подробно рассмотреть понятие потенциальной энергии, формулу её расчета и зависимости между переменными. Давайте разберём всё пошагово.

Потенциальная энергия связана с положением тела в поле силы. В данном случае речь идет о потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли. Формула для расчёта потенциальной энергии в гравитационном поле выглядит следующим образом:

Eₚ = m * g * h

где:
− Eₚ — потенциальная энергия (Джоули),
− m — масса тела (кг),
− g — ускорение свободного падения (м/с²), принятое равным примерно $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $ на поверхности Земли,
− h — высота тела над выбранным уровнем отсчёта (м).

Рассмотрим все параметры этой формулы.

1. Масса тела (m):
   Масса — это количество вещества в теле. Её значение для каждого тела фиксировано и входит в формулу как коэффициент, пропорционально влияющий на величину потенциальной энергии.

2. Ускорение свободного падения (g):
   Ускорение свободного падения зависит от географической широты и высоты над поверхностью Земли, но для большинства задач мы считаем его постоянным, равным $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $. Это значение одинаково для всех тел в одной и той же точке пространства.

3. Высота (h):
   Высота определяется как расстояние от уровня отсчёта (обычно выбранного как нулевая высота) до рассматриваемого положения тела. Чем больше высота, тем больше потенциальная энергия тела при фиксированных массе и ускорении свободного падения.

Теперь давайте осознаем, что потенциальная энергия зависит от произведения трёх факторов: массы, ускорения свободного падения и высоты. Если $ g $ остаётся постоянным, то равенство потенциальных энергий для двух тел можно записать так:

m₁ * g * h₁ = m₂ * g * h₂

Так как $ g $ одинаково для обоих тел, оно сокращается, и уравнение упрощается до:

m₁ * h₁ = m₂ * h₂

В этом уравнении:
− m₁ и m₂ — массы двух тел,
− h₁ и h₂ — высоты этих тел.

Полученное соотношение говорит о том, что одинаковая потенциальная энергия для двух тел возможна, если произведение массы на высоту одинаково для каждого тела. То есть, масса тела прямо пропорциональна высоте, на которую оно поднято.

Теперь подставим данные задачи. У нас есть два тела:
− Масса первого тела $ m₁ = 2 \, \text{кг} $,
− Масса второго тела $ m₂ = 10 \, \text{кг} $.

Согласно условию, их потенциальные энергии должны быть равны. Тогда:

m₁ * h₁ = m₂ * h₂

Подставим значения масс:

2 * h₁ = 10 * h₂

Отсюда видно, что высоты $ h₁ $ и $ h₂ $ должны относиться как обратные пропорции масс. То есть:

h₁ / h₂ = m₂ / m₁

h₁ / h₂ = 10 / 2

h₁ / h₂ = 5

Таким образом, чтобы потенциальные энергии этих тел были равны, первое тело (массой 2 кг) должно находиться на высоте в 5 раз большей, чем второе тело (массой 10 кг).

Вывод: равенство потенциальных энергий достигается, если высоты тел обратно пропорциональны их массам.