Почему космонавт, находящийся вне корабля в космическом пространстве, оттолкнувшись от корпуса корабля, приобретает в направлении толчка гораздо большую скорость, чем корабль? В каком случае при столкновении двух космических тел скорости их изменились бы по модулю одинаково?

Для понимания данного физического явления необходимо обратиться к закону сохранения импульса и базовым принципам механики, которые изучаются в школьной программе.

Закон сохранения импульса:

Импульс $ \mathbf{p} $ — это физическая величина, равная произведению массы тела $ m $ на его скорость $ \mathbf{v} $:
$$ \mathbf{p} = m \cdot \mathbf{v}. $$
Если на систему не действуют внешние силы или их действие можно считать пренебрежимо малым, то суммарный импульс системы тел остается неизменным. Это утверждение называется законом сохранения импульса:
$$ \mathbf{p}_\text{до} = \mathbf{p}_\text{после}. $$
Если рассматривать двух взаимодействующих объектов (например, космонавта и космический корабль), закон сохранения импульса записывается как:
$$ m_1 \cdot \mathbf{v}_1 + m_2 \cdot \mathbf{v}_2 = m_1 \cdot \mathbf{v}_1' + m_2 \cdot \mathbf{v}_2', $$
где:
− $ m_1, m_2 $ — массы первого тела (космонавт) и второго тела (корабль),
− $ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 $ — скорости тел до взаимодействия,
− $ \mathbf{v}_1', \mathbf{v}_2' $ — скорости тел после взаимодействия.

Если до толчка оба тела неподвижны относительно какой−либо системы отсчета (например, относительно центра масс системы), то их начальные скорости равны нулю:
$$ m_1 \cdot 0 + m_2 \cdot 0 = m_1 \cdot \mathbf{v}_1' + m_2 \cdot \mathbf{v}_2'. $$
Таким образом:
$$ 0 = m_1 \cdot \mathbf{v}_1' + m_2 \cdot \mathbf{v}_2', $$
или
$$ m_1 \cdot \mathbf{v}_1' = -m_2 \cdot \mathbf{v}_2'. $$
Отсюда:
$$ \frac{\mathbf{v}_1'}{\mathbf{v}_2'} = -\frac{m_2}{m_1}. $$
Знак минус указывает, что скорости тел направлены в противоположные стороны.

Почему космонавт приобретает большую скорость?

Масса космонавта ($ m_1 $) значительно меньше массы космического корабля ($ m_2 $), то есть $ m_1 \ll m_2 $. Из выражения для отношения скоростей:
$$ |\mathbf{v}_1'| = \frac{m_2}{m_1} |\mathbf{v}_2'|, $$
видно, что модуль скорости космонавта $ |\mathbf{v}_1'| $ будет в $ \frac{m_2}{m_1} $ раз больше, чем модуль скорости корабля $ |\mathbf{v}_2'| $.

Таким образом, из−за огромной разницы в массах (например, масса космонавта — около 100 кг, а масса корабля — десятки тонн), космонавт при отталкивании приобретает значительно большую скорость, чем космический корабль.

Условия одинакового изменения модулей скоростей:

Модули изменений скоростей двух тел будут одинаковыми в случае, если их массы равны:
$$ m_1 = m_2. $$
В этом случае из закона сохранения импульса:
$$ m_1 \cdot \mathbf{v}_1' = -m_2 \cdot \mathbf{v}_2', $$
следует:
$$ |\mathbf{v}_1'| = |\mathbf{v}_2'|. $$
Таким образом, если массы двух тел одинаковы, то после взаимодействия их скорости изменяются по модулю одинаково, но направлены в противоположные стороны.