На каком расстоянии от собирающей линзы следует поместить предмет, чтобы расстояние от предмета до его действительного изображения было наименьшим?

Для того чтобы рассмотреть задачу, связанную с собирающей линзой, необходимо понять основные законы и формулы, связанные с ее действием. Прежде всего, собирающая линза — это оптическая линза, способная преломлять световые лучи и собирать их в одной точке, называемой фокусом. Вот основные моменты теории, которые понадобятся для решения задачи.

1. Оптическая сила линзы и фокусное расстояние.
Оптическая сила линзы характеризуется ее способностью собирать или рассевать световые лучи. Фокусное расстояние линзы обозначается буквой $ f $ и определяется как расстояние от линзы до ее главного фокуса. Если линза собирающая, то $ f > 0 $, если рассеивающая, то $ f < 0 $.

2. Формула тонкой линзы.
Для вычисления взаимного расположения предмета, изображения и линзы используется формула тонкой линзы:
$$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'} $$
где:
− $ F $ — фокусное расстояние линзы,
− $ d $ — расстояние от линзы до предмета,
− $ d' $ — расстояние от линзы до изображения.

Эта формула связывает параметры линзы и положения предмета и изображения.

3. Действительное изображение.
Собирающая линза создает действительное изображение только тогда, когда предмет находится за пределами фокальной точки, то есть $ d > F $. Действительное изображение характеризуется тем, что лучи после прохождения линзы сходятся в одной точке, где можно установить экран для наблюдения изображения.

4. Минимизация расстояния.
По условию задачи требуется найти такое положение предмета, чтобы сумма расстояний от предмета до линзы ($ d $) и от линзы до изображения ($ d' $) была наименьшей. То есть, необходимо минимизировать величину:
$$ D = d + d' $$
С учетом формулы тонкой линзы ($ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'} $), выражение для $ d' $ можно переписать как:
$$ d' = \frac{d \cdot F}{d - F} $$
Подставляя это в выражение для $ D $, получаем:
$$ D = d + \frac{d \cdot F}{d - F} $$
Для минимизации $ D $, необходимо найти первое производное от этого выражения по $ d $ и приравнять его к нулю.

5. Условия минимизации.
Процесс нахождения минимума заключается в анализе производной функции $ D $. При этом нужно учитывать физическое ограничение: $ d > F $, так как только в этом случае линза создает действительное изображение.

6. Итоговые рассуждения.
После проведения математических операций (дифференцирование и анализ), можно найти конкретное значение $ d $, при котором сумма расстояний будет минимальной.

Все приведенные теоретические сведения дают необходимую основу для решения задачи.