Радиолюбителю нужен резистор сопротивлением 70 кОм. Но у него оказалось три резистора сопротивлениями 100, 50 и 25 кОм. Может ли он составить из них резистор требуемого сопротивления? Если может, то как?

Для решения задачи важно понять, как соединяются резисторы и как вычисляется их эквивалентное сопротивление при различных типах соединений. В электрических цепях резисторы могут быть соединены либо последовательно, либо параллельно. Каждый тип соединения имеет свои правила для расчета общего сопротивления.

1. Последовательное соединение резисторов

Когда резисторы соединяются последовательно, ток через них одинаковый, а общее напряжение на соединении равно сумме напряжений на каждом резисторе. Эквивалентное сопротивление в случае последовательного соединения вычисляется как сумма сопротивлений всех резисторов:

$$ R_{\text{посл}} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots $$

Например, если два резистора имеют сопротивления $ R_1 = 100 \, \text{кОм} $ и $ R_2 = 50 \, \text{кОм} $, их эквивалентное сопротивление при последовательном соединении будет:

$$ R_{\text{посл}} = R_1 + R_2 = 100 \, \text{кОм} + 50 \, \text{кОм} = 150 \, \text{кОм}. $$

2. Параллельное соединение резисторов

При параллельном соединении резисторов напряжение на каждом из них одинаковое, а общий ток равен сумме токов через каждый резистор. Эквивалентное сопротивление при параллельном соединении вычисляется по формуле:

$$ \frac{1}{R_{\text{пар}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots $$

Или в случае двух резисторов:

$$ R_{\text{пар}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}. $$

Пример: если $ R_1 = 100 \, \text{кОм} $ и $ R_2 = 50 \, \text{кОм} $, их эквивалентное сопротивление при параллельном соединении будет:

$$ R_{\text{пар}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{100 \cdot 50}{100 + 50} = \frac{5000}{150} \approx 33.33 \, \text{кОм}. $$

3. Смешанное соединение резисторов

Очень часто в электрических цепях используется смешанное соединение резисторов, которое сочетает последовательное и параллельное соединение. В этом случае эквивалентное сопротивление рассчитывается поэтапно: сначала вычисляются эквивалентные сопротивления частей цепи, затем учитываются их взаимные соединения.

4. Анализ задачи

В данной задаче радиолюбителю требуется создать резистор с сопротивлением $ R = 70 \, \text{кОм} $, используя резисторы с сопротивлениями $ R_1 = 100 \, \text{кОм} $, $ R_2 = 50 \, \text{кОм} $, $ R_3 = 25 \, \text{кОм} $. Чтобы понять, возможно ли это, нужно рассмотреть различные комбинации соединений: последовательное, параллельное и их сочетания.

Основным подходом будет:

1. Проверить, можно ли достичь нужного сопротивления $ R = 70 \, \text{кОм} $ при последовательном соединении резисторов. Для этого нужно сложить сопротивления резисторов в различных комбинациях.

2. Проверить, можно ли достичь $ R = 70 \, \text{кОм} $ при параллельном соединении резисторов. Для этого рассчитать эквивалентное сопротивление по формуле для параллельного соединения.

3. Если ни одно из простых соединений не дает нужного результата, рассмотреть смешанное соединение резисторов.

4. Подставить числа и проверить, достигается ли требуемое значение эквивалентного сопротивления.