$\frac{p^2-<!--\; -\; -->q^2}{p^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{pq+q^2}{(p+q{)}^2}=\frac{(p-<!--\; -\; -->q)(p+q)}{p^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{q(p+q)}{(p+q{)}^2}=\frac{(p-<!--\; -\; -->q)(p+q)}{p^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{q}{p+q}=\frac{p-<!--\; -\; -->q}{p^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{q}{1}=\frac{q(p-<!--\; -\; -->q)}{p^2}$

$\frac{a^2-<!--\; -\; -->9b^2}{a^2-<!--\; -\; -->ab}:\frac{a^2+3ab}{a-<!--\; -\; -->b}=\frac{a^2-<!--\; -\; -->9b^2}{a^2-<!--\; -\; -->ab}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a-<!--\; -\; -->b}{a^2+3ab}=\frac{(a-<!--\; -\; -->3b)(a+3b)}{a(a-<!--\; -\; -->b)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a-<!--\; -\; -->b}{a(a+3b)}=\frac{a-<!--\; -\; -->3b}{a}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{a}=\frac{a-<!--\; -\; -->3b}{a^2}$

$\frac{3x^2-<!--\; -\; -->3y^2}{x^2+xy}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{x+y}{6x-<!--\; -\; -->6y}=\frac{3(x^2-<!--\; -\; -->y^2)}{x(x+y)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{x+y}{6(x-<!--\; -\; -->y)}=\frac{3(x-<!--\; -\; -->y)(x+y)}{x(x+y)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{x+y}{6(x-<!--\; -\; -->y)}=\frac{3(x-<!--\; -\; -->y)}{x}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{x+y}{6(x-<!--\; -\; -->y)}=\frac{1}{x}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{x+y}{2}=\frac{x+y}{2x}$

$\frac{m^2-<!--\; -\; -->n^2}{(m+n{)}^2}:\frac{4m-<!--\; -\; -->4n}{3m+3n}=\frac{m^2-<!--\; -\; -->n^2}{(m+n{)}^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{3m+3n}{4m-<!--\; -\; -->4n}=\frac{(m-<!--\; -\; -->n)(m+n)}{(m+n{)}^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{3(m+n)}{4(m-<!--\; -\; -->n)}=\frac{m-<!--\; -\; -->n}{m+n}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{3(m+n)}{4(m-<!--\; -\; -->n)}=\frac{3}{4}$