$3^{4k} = (3^4)^k = 81^k$, так как число 81 оканчивается единицей, а единица в любой натуральной степени равна 1, значит число $3^{4k}$ при любом натуральном k оканчивается единицей.

Число $10^{k}$ всегда будет число состоящим из единицы и k числа нулей, значит число $10^{k} - 1$ всегда будет состоять из k числа девяток. Так как 9 кратно 3, то и число $10^{k} - 1$ при любом натуральном k кратно 3.