(Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число , начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6.
1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому − из седьмого десятка.
2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.
3) Проведите доказательство.
Простое число из третьего десятка − 23, тогда 23 + 1 = 24 − делится на 6;
Простое число из седьмого десятка − 67, тогда 67 − 1 = 66 − делится на 64
67 + 1 = 68 − не делится на 6.
Доказательство:
Пусть a некоторое простое число, a ≥ 5.
Все простые числа, кроме числа 2, числа нечетные, тогда (a − 1) и (a + 1) числа четные, и значит делятся на 2.
Из трех последовательных чисел (a − 1), a, (a + 1) одно обязательно делится на 3, так как a простое число, то (a − 1) или (a + 1) делится на 3.
Тогда всякое простое число начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1 делится на 2 и на 3, а значит делится на 6.
