Квадрат со стороной 1 м закрашивают по частям, как показано на рисунке 1.6. На каждом шаге закрашивается половина незакрашенной части.
1) Для первых двух квадратов записаны по два выражения для вычисления площади закрашенной части. Запишите соответствующие выражения для остальных квадратов на рисунке.
2) Запишите два разных выражения для вычисления площади закрашенной части квадрата, получившейся на десятом шаге; на сотом шаге.
3) Используйте полученный результат для вычисления значения выражения:
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + ... + (\frac{1}{2})^{10}$.
3 квадрат:
$1 - (\frac{1}{2})^3 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ или
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4 + 2 + 1}{8} = \frac{7}{8}$.
4 квадрат:
$1 - (\frac{1}{2})^4 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ или
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{8 + 4 + 2 + 1}{16} = \frac{15}{16}$.
5 квадрат:
$1 - (\frac{1}{2})^5 = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$ или
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} = \frac{16 + 8 + 4 + 2 + 1}{32} = \frac{31}{32}$.
10 шаг:
$1 - (\frac{1}{2})^{10}$ и
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5 + (\frac{1}{2})^6 + (\frac{1}{2})^7 + (\frac{1}{2})^8 + (\frac{1}{2})^9 + (\frac{1}{2})^{10}$.
100 шаг:
$1 - (\frac{1}{2})^{100}$ и
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + ... + (\frac{1}{2})^{99} + (\frac{1}{2})^{100}$.
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5 + (\frac{1}{2})^6 + (\frac{1}{2})^7 + (\frac{1}{2})^8 + (\frac{1}{2})^9 + (\frac{1}{2})^{10} = 1 - (\frac{1}{2})^{10} = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$
Пожауйста, оцените решение
