Найди значения выражений:
а) $a + 4\frac{5}{9}$, если $a = \frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{7}{9}, 1\frac{1}{9}, 2, 3\frac{4}{9}, 5\frac{7}{9}$;
б) $b - 2\frac{4}{7}$, если $b = 6\frac{5}{7}, 5\frac{2}{7}, 5, 4\frac{1}{7}, 3\frac{4}{7}, 3\frac{2}{7}, 3$.

Для решения задачи, связанной с вычислением значений выражений, где используются смешанные числа и обыкновенные дроби, необходимо понимать основные операции с дробями и смешанными числами: сложение и вычитание. Рассмотрим теоретическую часть, которая поможет решить задачу:

1. Понятие смешанных чисел:
   Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Например, $4\frac{5}{9}$ состоит из целой части $4$ и дробной части $\frac{5}{9}$.

2. Приведение смешанного числа к неправильной дроби:
   Чтобы упростить вычисления, смешанные числа часто представляют в виде неправильной дроби. Для этого:

   • Умножаем целую часть на знаменатель дробной части.
   • К результату прибавляем числитель дробной части.
   • Сумму записываем как числитель новой дроби, а знаменатель оставляем прежним.

Например, для $4\frac{5}{9}$:
$$ 4\frac{5}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{36 + 5}{9} = \frac{41}{9}. $$

1. Сложение дробей: Чтобы сложить две дроби, они должны иметь одинаковый знаменатель. Если знаменатели разные, нужно привести их к общему знаменателю. Алгоритм:
   • Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
   • Привести дроби к общему знаменателю, изменив их числители соответственно.
   • Сложить числители и записать результат в виде дроби с найденным знаменателем.

Например:
$$ \frac{2}{9} + \frac{41}{9} = \frac{2 + 41}{9} = \frac{43}{9}. $$

Если результат представлен в виде неправильной дроби, его можно преобразовать обратно в смешанное число:
− Разделить числитель на знаменатель.
− Частное станет целой частью, а остаток — числителем дробной части.

1. Вычитание дробей: Вычитание дробей происходит аналогично сложению:
   • Привести дроби к общему знаменателю (если нужно).
   • Вычесть числители и записать результат в виде дроби с найденным знаменателем.

Например:
$$ \frac{47}{7} - \frac{18}{7} = \frac{47 - 18}{7} = \frac{29}{7}. $$

Результат также можно преобразовать в смешанное число, если числитель больше знаменателя.

1. Работа с многочленами в выражениях типа $b - c$:
   Если $b$ — смешанное число, его рекомендуется сразу преобразовать в неправильную дробь. Аналогично поступаем с $c$. После этого выполняем вычитание по алгоритму, описанному выше.

2. Сравнение дробей и проверка результата:
   При сложении или вычитании важно проверять результат. Если дробь неправильная, нужно преобразовать её в смешанное число. Также стоит проверить, можно ли сократить дробь, чтобы упростить окончательное выражение.

3. Пример применения алгоритмов:
   Если дано $b = 5\frac{2}{7}$ и требуется найти $b - 2\frac{4}{7}$:

   • Преобразуем $5\frac{2}{7}$ в дробь: $\frac{5 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{35 + 2}{7} = \frac{37}{7}$.
   • Преобразуем $2\frac{4}{7}$ в дробь: $\frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{14 + 4}{7} = \frac{18}{7}$.
   • Выполняем вычитание: $\frac{37}{7} - \frac{18}{7} = \frac{37 - 18}{7} = \frac{19}{7}$.
   • Преобразуем $\frac{19}{7}$ в смешанное число: $19 \div 7 = 2$, остаток $5$, значит $2\frac{5}{7}$.

Эти правила позволяют решать задачи с дробями и смешанными числами последовательно и корректно.