Выполни действия:
а) $14\frac{20}{29} - (3\frac{13}{29} + 2\frac{7}{29}) - 5\frac{6}{7}$;
б) $(5\frac{1}{14} - 1\frac{9}{14}) - (2\frac{11}{14} + \frac{5}{14})$;
в) $(4\frac{13}{16} + 8\frac{7}{16}) - 5\frac{7}{16}$;
г) $15\frac{19}{32} - (14\frac{19}{32} + \frac{25}{32})$.

Для решения подобных задач необходимо соблюдать порядок действий и использовать правила работы с дробями. Ниже представлена подробная теоретическая часть, которая поможет решить каждую часть задачи.

1. Работа с смешанными числами

Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Например, $ 14\frac{20}{29} $ означает $ 14 + \frac{20}{29} $.

Чтобы упрощать выражения, смешанные числа можно записывать в виде неправильной дроби. Неправильная дробь имеет числитель больше знаменателя. Например:
$$ 14\frac{20}{29} = \frac{14 \cdot 29 + 20}{29} = \frac{406 + 20}{29} = \frac{426}{29}. $$

2. Сложение и вычитание дробей

Для сложения или вычитания дробей важно, чтобы знаменатели были одинаковыми. Если знаменатели разные, необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Приведение дробей к общему знаменателю:
− Найдите общий знаменатель (наименьшее общее кратное) для всех знаменателей.
− Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на такое число, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Например:
$$ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $$
Общий знаменатель для $ 3 $ и $ 4 $ равен $ 12 $. Приводим дроби к общему знаменателю:
$$ \frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}. $$
Теперь можно сложить дроби:
$$ \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}. $$

3. Смешанное число в операциях сложения и вычитания

При сложении или вычитании смешанных чисел можно работать отдельно с целыми частями и дробными частями:
− Сначала складываем или вычитаем целые числа.
− Затем складываем или вычитаем дробные части.

Пример:
$$ 3\frac{1}{5} + 2\frac{2}{5} $$
Складываем целые части:
$$ 3 + 2 = 5. $$
Складываем дробные части:
$$ \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}. $$
Ответ:
$$ 5\frac{3}{5}. $$

Если дробные части дают неправильную дробь, преобразуйте ее в смешанное число и добавьте к целой части.

4. Вычитание смешанных чисел

При вычитании смешанных чисел может возникать ситуация, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. В этом случае нужно занять единицу из целой части уменьшаемого.

Пример:
$$ 5\frac{2}{7} - 3\frac{5}{7} $$
Дробная часть уменьшаемого ($ \frac{2}{7} $) меньше дробной части вычитаемого ($ \frac{5}{7} $). Занимаем единицу из целой части уменьшаемого:
$$ 5\frac{2}{7} = 4\frac{9}{7}. $$
Теперь можно вычитать:
$$ 4\frac{9}{7} - 3\frac{5}{7} = (4 - 3)\frac{(9 - 5)}{7} = 1\frac{4}{7}. $$

5. Порядок действий

При наличии скобок в выражении сначала выполняются действия внутри скобок. Затем выполняются действия вне скобок. Если в выражении присутствуют сложение и вычитание, выполняйте их в порядке слева направо.

Пример:
$$ 14\frac{20}{29} - (3\frac{13}{29} + 2\frac{7}{29}) - 5\frac{6}{7}. $$
− Сначала вычислите сумму $ 3\frac{13}{29} + 2\frac{7}{29} $.
− Затем выполните вычитание $ 14\frac{20}{29} - \text{(результат из скобок)} $.
− Наконец, выполните вычитание $ \text{(результат из предыдущего действия)} - 5\frac{6}{7} $.

6. Работа с неправильными дробями

Если преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, все действия (сложение, вычитание) можно выполнять с дробями, а потом преобразовать результат обратно в смешанное число.

Пример:
$$ 14\frac{20}{29} = \frac{426}{29}, \quad 3\frac{13}{29} = \frac{100}{29}, \quad 2\frac{7}{29} = \frac{65}{29}. $$
Вся задача сводится к работе с дробями:
$$ \frac{426}{29} - (\frac{100}{29} + \frac{65}{29}) - 5\frac{6}{7}. $$

7. Смешанные числа с разными знаменателями

Если в задаче встречаются дроби с разными знаменателями (например, $ \frac{20}{29} $ и $ \frac{6}{7} $), для их сложения или вычитания нужно привести их к общему знаменателю.

Общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

Пример:
$$ \frac{20}{29} \quad \text{и} \quad \frac{6}{7}. $$
Наименьшее общее кратное для $ 29 $ и $ 7 $ равно $ 203 $. Приводим дроби к общему знаменателю:
$$ \frac{20}{29} = \frac{140}{203}, \quad \frac{6}{7} = \frac{174}{203}. $$

Теперь можно выполнять действия с дробями.

8. Преобразование результата в смешанное число

Если результат сложения или вычитания дробей — неправильная дробь, преобразуйте ее обратно в смешанное число.

Пример:
$$ \frac{29}{7}. $$
Разделите числитель на знаменатель:
$$ 29 \div 7 = 4 \quad \text{(целая часть)}, \quad \text{остаток } 1. $$
Ответ:
$$ 4\frac{1}{7}. $$

Эти правила применимы для всех частей задачи. Следуя описанным алгоритмам, легко можно решить каждую часть.