Восстанови цепочки вычислений, если производилось только операции сложения и вычитания:

Для решения задачи о восстановлении цепочек вычислений, где используются операции сложения и вычитания, полезно тщательно разобрать каждый этап работы с дробями и числами.

Теоретическая часть:

Основные понятия дробей:

1. Простая дробь — это число, записанное в виде отношения двух чисел, где одно число называется числителем, а другое — знаменателем. Например, $ \frac{4}{5} $ — дробь, в которой 4 числитель, а 5 знаменатель.
2. Сложная дробь — дробь, которая превышает единицу и состоит из целой части и дробной части. Например, $ 1 \frac{2}{5} $ — смешанная дробь с целой частью 1 и дробной частью $ \frac{2}{5} $.

Действия с дробями:

1. Сложение дробей:

   • Если знаменатели равны, складывают числители, а знаменатель оставляют неизменным. Например, $ \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3+1}{5} = \frac{4}{5} $.
   • Если знаменатели различны, находят общий знаменатель, приводят дроби к общему знаменателю и складывают числители. Например, $ \frac{1}{3} + \frac{2}{5} $: Общий знаменатель — 15 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 5). Приведение дробей: $ \frac{1}{3} = \frac{5}{15}, \frac{2}{5} = \frac{6}{15} $. Сложение: $ \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15} $.

2. Вычитание дробей:

   • Если знаменатели равны, вычитают числители, а знаменатель остаётся неизменным. Например, $ \frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{4-3}{5} = \frac{1}{5} $.
   • Если знаменатели различны, находят общий знаменатель, приводят дроби к общему знаменателю и вычитают числители. Например, $ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $: Общий знаменатель — 6. Приведение дробей: $ \frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \frac{1}{3} = \frac{2}{6} $. Вычитание: $ \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} $.

3. Смешанные числа:

   • При сложении или вычитании смешанных чисел сначала отдельно работают с целыми частями, затем с дробными частями. Например, $ 2 \frac{3}{7} + 1 \frac{4}{7} $: Сложение целой части: $ 2 + 1 = 3 $. Сложение дробной части: $ \frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{7}{7} = 1 $. Итог: $ 3 + 1 = 4 $.

4. Приведение смешанных чисел к дроби:

   • Чтобы проводить действия с дробями, смешанные числа иногда преобразуют в неправильную дробь. Например, $ 2 \frac{3}{5} $: Умножают целую часть на знаменатель дробной части и прибавляют числитель: $ 2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13 $. Неправильная дробь: $ \frac{13}{5} $.

Общий алгоритм действий:

1. Определить операцию (сложение или вычитание) в каждом шаге.
2. Если в выражении есть дроби с разными знаменателями, найти общий знаменатель и привести дроби к нему.
3. Выполнить операцию для дробной части.
4. Если дроби являются частью смешанных чисел, сложить или вычесть целые части отдельно.
5. Проверить результат (при необходимости преобразовать неправильные дроби в смешанные числа).

Особенности работы с цепочкой вычислений:

1. В цепочках важно учитывать последовательность операций: сначала действуют слева направо.
2. Если результат на каком−то этапе отсутствует (знак вопроса), можно пропустить этот шаг, но важно учитывать взаимосвязь между предыдущими и следующими числами.
3. В конце убедитесь, что промежуточные результаты логически согласуются друг с другом.

Работа с целыми числами:

1. Если в выражении участвуют целые числа, они могут быть представлены как дроби с знаменателем 1. Например, $ 4 = \frac{4}{1} $.
2. Для сложения или вычитания целого числа и дроби, преобразуйте оба числа к дробному виду или работайте над целыми и дробными частями отдельно.

Задача требует аккуратного восстановления промежуточных результатов, исходя из предложенных операций!