а) Объясни смысл равенств, выражающих свойства сложения и вычитания. При каких значениях переменных a, b и c они верны?
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
a − (b + c) = (a − b) − c = (a − c) − b
(a + b) − c = (a − c) + b = a + (b − c)
б) Найди выражения, значения которых равны, и обозначь их одинаковыми значками. Проверь правильность решения с помощью вычислений:
28 + (2 + 19) = ☐
43 − (23 + 5) = ☐
(56 + 38) − 26 = ☐
(43 − 23) + 5 = ☐
(56 − 26) + 38 = ☐
(28 + 2) + 19 = ☐
(43 − 23) − 5 = ☐
56 + (38 − 26) = ☐
в) Вычисли наиболее простым способом:
$(2\frac{1}{7} + 6\frac{4}{15}) + 1\frac{6}{7}$;
$9\frac{3}{5} - (4\frac{3}{5} + 2\frac{1}{3})$;
$(5\frac{7}{8} + 1\frac{5}{6}) - 4\frac{7}{8}$;
$(1\frac{2}{13} + 2\frac{5}{9}) - 1\frac{5}{9}$;
$\frac{1}{11} + \frac{2}{11} + \frac{3}{11} + \frac{4}{11} + \frac{5}{11} + \frac{6}{11} + \frac{7}{11} + \frac{8}{11} + \frac{9}{11} + \frac{10}{11}$.
a + b = b + a − переместительное свойство сложения (от перестановки мест слагаемых сумма не меняется).
(a + b) + c = a + (b + c) − сочетательное свойство сложения (значение суммы не зависит от порядка слагаемых и действий).
a − (b + c) = (a − b) − c = (a − c) − b − свойство вычитания числа из суммы (чтобы из числа вычесть сумму чисел, можно сначала вычесть одно из слагаемых, а затем второе).
(a + b) − c = (a − c) + b = a + (b − c) − свойство вычитания числа из суммы (чтобы из суммы вычесть число, можно из первого слагаемого вычесть число и прибавить второе слагаемое, или к первому слагаемому прибавить разность второго слагаемого и числа).
Данные равенства верны при любых натуральных значениях переменных.
28 + (2 + 19) = (28 + 2) + 19 = 30 + 19 = 49;
43 − (23 + 5) = (43 − 23) − 5 = 20 − 5 = 15;
(56 + 38) − 26 = (56 − 26) + 38 = 30 + 38 = 68;
(43 − 23) + 5 = 20 + 5 = 25;
(56 − 26) + 38 = 30 + 38 = 68;
(28 + 2) + 19 = 30 + 19 = 49;
(43 − 23) − 5 = 20 − 5 = 15;
56 + (38 − 26) = (56 − 26) + 38 = 30 + 38 = 68.
$(2\frac{1}{7} + 6\frac{4}{15}) + 1\frac{6}{7} = (2\frac{1}{7} + 1\frac{6}{7}) + 6\frac{4}{15} = 3\frac{7}{7} + 6\frac{4}{15} = 4 + 6\frac{4}{15} = 10\frac{4}{15}$;
$9\frac{3}{5} - (4\frac{3}{5} + 2\frac{1}{3}) = (9\frac{3}{5} - 4\frac{3}{5}) - 2\frac{1}{3} = 5 - 2\frac{1}{3} = 4\frac{3}{3} - 2\frac{1}{3} = 2\frac{2}{3}$;
$(5\frac{7}{8} + 1\frac{5}{6}) - 4\frac{7}{8} = (5\frac{7}{8} - 4\frac{7}{8}) + 1\frac{5}{6} = 1 + 1\frac{5}{6} = 2\frac{5}{6}$;
$(1\frac{2}{13} + 2\frac{5}{9}) - 1\frac{5}{9} = 1\frac{2}{13} + (2\frac{5}{9} - 1\frac{5}{9}) = 1\frac{2}{13} + 1 = 2\frac{2}{13}$;
$\frac{1}{11} + \frac{2}{11} + \frac{3}{11} + \frac{4}{11} + \frac{5}{11} + \frac{6}{11} + \frac{7}{11} + \frac{8}{11} + \frac{9}{11} + \frac{10}{11} = (\frac{1}{11} + \frac{10}{11}) + (\frac{2}{11} + \frac{9}{11}) + (\frac{3}{11} + \frac{8}{11}) + (\frac{4}{11} + \frac{7}{11}) + (\frac{5}{11} + \frac{6}{11}) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$.
Коммутативное свойство сложения (переместительное):
Формула: $ a + b = b + a $
Смысл: Порядок, в котором складываются два числа, не влияет на результат. Это означает, что независимо от того, какое число стоит первым, сумма будет одинаковой.
Пример: $ 3 + 5 = 5 + 3 $ (оба дают $ 8 $).
Условие: Это свойство справедливо для любых чисел $ a $ и $ b $, включая целые, дробные и отрицательные числа.
Ассоциативное свойство сложения (сочетательное):
Формула: $ (a + b) + c = a + (b + c) $
Смысл: При сложении трех (или более) чисел, группы, в которых выполняется операция сложения, можно менять. Сумма останется неизменной.
Пример: $ (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) $ (оба дают $ 9 $).
Условие: Справедливо для любых чисел $ a, b $ и $ c $.
Ассоциативное свойство вычитания:
Формула: $ a - (b + c) = (a - b) - c = (a - c) - b $
Смысл: Если нужно вычесть сумму двух чисел из третьего, результат не изменится, независимо от того, какое число вычитается первым.
Пример: $ 10 - (6 + 2) = (10 - 6) - 2 = (10 - 2) - 6 $.
Условие: Все числа $ a, b, c $ должны быть таковыми, чтобы промежуточные вычисления $ (a - b) $, $ (a - c) $, $ (a - (b + c)) $ не выходили за рамки допустимых значений (например, не приводили к отрицательным числам в задачах 4 класса).
Сочетательное свойство сложения и вычитания:
Формула: $ (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) $
Смысл: Если сначала складывать два числа, а потом вычитать третье, это эквивалентно сначала вычесть третье число из первого или второго, а затем сложить оставшийся результат.
Пример: $ (8 + 5) - 3 = (8 - 3) + 5 = 8 + (5 - 3) $ (все дают $ 10 $).
Условие: Числа $ a, b, c $ должны быть согласованы так, чтобы промежуточные результаты были корректны.
Для сравнения выражений, нужно понимать, какие операции выполняются, и учитывать, что свойства сложения и вычитания позволяют менять порядок выполнения действий. Упрощение выражений помогает находить одинаковые значения.
Равенства выражений:
Чтобы доказать, что два выражения равны, необходимо:
Группировка выражений:
Если несколько выражений дают одинаковый результат, их можно обозначить одинаковыми символами.
Сложение и вычитание дробей:
Сочетательное свойство дробей:
При сложении и вычитании дробей можно группировать числа, чтобы упростить вычисления. Например:
$$
(a/b + c/d) - e/f = (a/b - e/f) + c/d
$$
Сумма всех дробей:
Если дроби имеют одинаковый знаменатель, то их числители можно сложить напрямую. Итоговая дробь будет иметь тот же знаменатель.
Проверка правильности вычислений:
Проверяется путем повторного сложения или вычитания дробей с учетом свойств.
Свойства сложения и вычитания позволяют упрощать выражения и проверять равенство результатов. Для дробей важно учитывать приведение к общему знаменателю и правильное обращение с целой частью и дробной частью.
Пожауйста, оцените решение
