Докажи, что:
698 : 2 > 300;
785 : 5 < 200;
400 < 896 : 2 < 500;
30 < 1645 : 47 < 50;
500 < 22464 : 36 < 800;
700 < 385636 : 458 < 1000.

Для доказательства выражений в данной задаче мы будем использовать операции деления, сравнения чисел и свойства неравенств. Давайте рассмотрим теоретическую часть, которая поможет понять каждый этап и подход, необходимые для доказательства.

1. Операция деления

Деление — это арифметическая операция, при которой одно число (делимое) делится на другое число (делитель) с целью нахождения результата (частного). Например, при делении $ 10 : 2 $ результат равен $ 5 $, потому что $ 10 = 2 \times 5 $.

Свойства деления:

• Деление можно представить как обратную операцию умножения.
• Делитель не может быть равен $ 0 $, так как деление на ноль не определено.
• Частное может быть целым числом (если делимое делится нацело на делитель) или дробным числом (если делимое не делится нацело).

2. Сравнение чисел

Сравнение чисел — это процесс установления порядка между числами. Мы можем сказать, что:
− $ a > b $, если число $ a $ больше числа $ b $;
− $ a < b $, если число $ a $ меньше числа $ b $;
− $ a = b $, если числа $ a $ и $ b $ равны.

3. Свойства неравенств

Неравенства подчиняются определенным свойствам, которые помогут нам доказать правильность указанных соотношений:
1. Транзитивность: Если $ a > b $ и $ b > c $, то $ a > c $.
2. Монотонность при делении: Если $ a > b $ и $ c > 0 $, то $ a : c > b : c $. Однако, если $ c < 0 $, знак неравенства меняется на противоположный.
3. Сравнение дробных частных: Для деления чисел важно оценить, на что делится делимое и делитель, чтобы понять, больше или меньше результат какого−то определенного числа.

4. Доказательство неравенств

Для доказательства каждого неравенства необходимо:
− Выполнить деление чисел;
− Получить частное (может быть целым числом или с остатком);
− Сравнить частное с указанным числом, чтобы подтвердить истинность неравенства.

Примеры:

• Для доказательства $ 698 : 2 > 300 $, мы вычисляем $ 698 : 2 = 349 $. Затем сравниваем $ 349 > 300 $ и убеждаемся, что неравенство верно.
• Для двойных неравенств, например, $ 400 < 896 : 2 < 500 $, нужно убедиться, что вычисленное значение частного (в данном случае $ 896 : 2 = 448 $) находится между 400 и 500. Это верно, если $ 400 < 448 $ и $ 448 < 500 $.

5. Проверка двойных неравенств

При наличии двойного неравенства (например, $ 400 < 896 : 2 < 500 $) проверка проходит в два этапа:
1. Сравниваем результат деления с левым пределом (400).
2. Сравниваем результат деления с правым пределом (500).
Если оба условия выполняются одновременно, то двойное неравенство верно.

6. Практическое применение

Для решения задачи необходимо:
− Выполнить деление для каждого выражения;
− Проверить результат деления относительно указанного числа или числового промежутка;
− Убедиться, что все условия указанных неравенств выполняются.

Эта теоретическая база поможет правильно провести вычисления и доказательства для каждого случая из задачи.