Несколько калуш встретились на опушке. Каждая с каждой поздоровались за лапу. Сколько всего калуш, если было 10 лапопожатий?

Для решения задачи нужно понять, сколько всего калуш участвовало в процессе, если между ними произошло 10 лапопожатий. В задаче можно использовать понятия комбинаторики и свойства чисел.

Теоретическая основа:

1. Лапопожатие как сочетание. Чтобы понять, сколько лапопожатий произошло, нужно учесть, что каждый калуш здоровается с каждым, но лапопожатие между двумя калушами происходит только один раз. Это означает, что мы ищем количество всех возможных пар калуш. Вычислить количество таких пар можно с помощью формулы для сочетаний.

2. Формула сочетаний. Если у нас есть $ n $ объектов (в данном случае $ n $ калуш), то количество различных пар этих объектов можно найти с помощью формулы сочетаний:
   $$ C_n^2 = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}, $$
   где $ n $ — количество объектов, а $ C_n^2 $ — число различных пар.

Здесь деление на $ 2 $ происходит потому, что порядок в паре неважен, то есть если калуш A поздоровался с калушем B, то это считается как одна пара, а не две.

1. Обратная задача. В данной задаче известно количество пар (лапопожатий) $ C_n^2 $, равное 10, а нужно найти $ n $ — количество калуш. Чтобы это сделать, мы можем воспользоваться формулой сочетаний, подставить $ C_n^2 = 10 $, и решить уравнение относительно $ n $.

2. Проверка и подбор. После составления уравнения, нужно проверить его решение. Если результат $ n $ — целое число, то задача решена корректно, так как количество калуш обязательно должно быть целым числом.

3. Рассмотрение всех возможных случаев. Если задача не имеет точного целого решения, то нужно пересмотреть условия задачи или уточнить данные.