Докажи, что:
а) 300 < 15 * 36 < 800;
б) 4800 < 83 * 62 < 6300;
в) 2000 < 145 * 29 < 6000;
г) 420000 < 731 * 624 < 560000.

Для того чтобы доказать данное неравенство, требуется провести вычисления, следуя определённому порядку операций, и сравнить результаты с заданными диапазонами. Однако вместо непосредственного вычисления здесь будет изложена подробная теоретическая часть, которая поможет понять, как подойти к решению.

1. Математическая операция умножения
   Умножение — это арифметическая операция, при которой один из множителей повторяется заданное количество раз. Например, если мы умножаем $ a $ на $ b $, это означает, что $ a $ берётся $ b $−раз: $ a \cdot b = a + a + \ldots + a $ ($ b $ раз). Умножение имеет следующие свойства:

   • Коммутативность: $ a \cdot b = b \cdot a $;
   • Ассоциативность: $ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $;
   • Дистрибутивность: $ a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) $.

2. Порядок выполнения операций
   В математических выражениях, содержащих несколько операций, необходимо соблюдать порядок вычислений:

   • Сначала выполняются умножение и деление (слева направо);
   • Затем выполняются сложение и вычитание (слева направо).

3. Структура доказательства неравенства
   Чтобы доказать неравенство вида $ x < a \cdot b < y $, выполняются следующие шаги:

   • Выполнить умножение $ a \cdot b $, чтобы найти точное значение произведения.
   • Сравнить полученное значение с левым пределом ($ x $): если $ a \cdot b > x $, то первая часть неравенства доказана.
   • Сравнить полученное значение с правым пределом ($ y $): если $ a \cdot b < y $, то вторая часть неравенства доказана.

4. Применение округления для проверки диапазонов
   Если точное вычисление затруднено, можно использовать округление чисел $ a $ и $ b $ для оценки произведения:

   • Найти нижнюю границу произведения, умножив округлённые числа вниз (например, округлить $ a $ и $ b $ до меньшего значения).
   • Найти верхнюю границу произведения, умножив округлённые числа вверх (например, округлить $ a $ и $ b $ до большего значения). Если округлённое значение произведения находится в пределах заданного диапазона ($ x < a \cdot b < y $), то с высокой вероятностью можно утверждать, что точное значение также удовлетворяет неравенству.

5. Примеры чисел
   Рассмотрим, как используются числа в выражении:

   • В пункте (а): $ 15 \cdot 36 $. Это означает, что 15 повторяется 36 раз. Полученное значение нужно сравнить с нижним пределом (300) и верхним пределом (800).
   • В пункте (б): $ 83 \cdot 62 $. Здесь 83 повторяется 62 раза. Аналогично, результаты сравниваются с диапазоном от 4800 до 6300.
   • В пункте (в): $ 145 \cdot 29 $. В этом случае, 145 повторяется 29 раз. Итог сравнивается с пределами 2000 и 6000.
   • В пункте (г): $ 731 \cdot 624 $. Это произведение сравнивается с более крупным диапазоном от 420000 до 560000.

6. Использование таблицы умножения
   Для начальных вычислений можно воспользоваться таблицей умножения, а если числа больше, чем те, что содержатся в таблице, расчёты выполняются при помощи стандартного алгоритма умножения в столбик.

7. Сравнение чисел
   Чтобы сравнить два числа, их записывают одно под другим, начиная с наибольшего разряда (слева направо). Если старший разряд одного числа больше, чем старший разряд другого, то первое число больше. Если старшие разряды одинаковы, переходят к следующему разряду и повторяют сравнение.

8. Логическое заключение
   Если после всех вычислений и сравнений оказывается, что произведение $ a \cdot b $ находится в заданном диапазоне, то неравенство доказано.

Следуя этим шагам, можно доказать неравенства в пунктах а, б, в и г.