Начерти в тетради треугольник ABC так, чтобы угол ACB был прямым, длина стороны AC была равна 2 см, а длина стороны CB была равна 5 см. Дострой этот треугольник до прямоугольника и вычисли его площадь.

Для решения задачи, связанной с построением треугольника, описанием его свойств и вычислением площади прямоугольника, важно понимать несколько теоретических концепций из геометрии и математики. Прежде чем приступать к решению, детально разберем всю теоретическую базу, которая понадобится.

1. Свойства прямоугольного треугольника

• Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов равен $90^\circ$.
• В прямоугольном треугольнике:
  • Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.
  • Две другие стороны, образующие прямой угол, называются катетами.
• Важно помнить, что длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов.

2. Построение прямоугольного треугольника

• Чтобы начертить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $ACB$, нужно:
  1. Выбрать точку $C$ в качестве вершины прямого угла.
  2. Провести две перпендикулярные прямые через точку $C$, которые будут задавать направления для катетов $AC$ и $CB$.
  3. Отложить на одной из прямых отрезок длиной 2 см ($AC = 2$ см).
  4. На другой прямой отложить отрезок длиной 5 см ($CB = 5$ см).
  5. Соединить точки $A$ и $B$, чтобы получить треугольник $ABC$.

3. Построение прямоугольника на основе треугольника

• Чтобы достроить треугольник $ABC$ до прямоугольника, нужно:
  1. Провести из каждой вершины треугольника, не лежащей на гипотенузе ($A$ и $C$), перпендикуляры к линии, содержащей гипотенузу ($AB$).
  2. Продолжить стороны $AC$ и $CB$, чтобы они встретились с проведенными перпендикулярами.
  3. Соединить вершины нового четырехугольника.

4. Вычисление площади прямоугольника

• Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле: $$ S = a \times b $$ где $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.
• В данном случае стороны прямоугольника будут равны длине катетов треугольника $AC$ и $CB$.

5. Практические заметки

• Для построения треугольника и прямоугольника желательно использовать тетрадь в клетку, линейку и транспортир (для проверки прямого угла).
• Проверить корректность построения треугольника можно, используя теорему Пифагора: $$ AB^2 = AC^2 + CB^2 $$ Если гипотенуза $AB$ соответствует этой формуле, построение выполнено правильно.

6. Алгоритм действий

• Построить треугольник $ABC$ с заданными условиями.
• Достроить до прямоугольника.
• Подставить длины сторон $AC = 2 \, \text{см}$ и $CB = 5 \, \text{см}$ в формулу площади и выполнить вычисления.