В первый день автомобиль проехал $\frac{2}{7}$ всего пути, а во второй день − $\frac{3}{5}$ остатка. Сколько километров проехал автомобиль в первый день и сколько − во второй, если длина всего пути 700 км?

Чтобы решить задачу, нужно последовательно разобрать условия и использовать понятие дробей, остатка, а также операции с числами. Основные шаги и теоретическая часть:

1. Понятие дроби:

   • Дробь представляет собой отношение двух чисел. Число сверху (числитель) показывает, сколько частей мы берем, а число снизу (знаменатель) показывает, на сколько частей делится целое.
   • Например, $\frac{2}{7}$ означает, что целое (в данном случае весь путь) разделено на 7 равных частей, и мы берем 2 такие части.

2. План решения:

   • Задача состоит из двух этапов: нужно определить, сколько километров составляют $\frac{2}{7}$ всего пути (это первый день), затем вычислить остаток пути и найти $\frac{3}{5}$ этого остатка (это второй день).

3. Нахождение части от целого:

   • Чтобы найти, сколько километров составляет $\frac{2}{7}$ всего пути, нужно умножить длину всего пути на $\frac{2}{7}$: $$ \text{Расстояние в первый день} = \text{Длина всего пути} \times \frac{2}{7}. $$

4. Остаток пути:

   • После первого дня остается часть пути, которую автомобиль не проехал. Чтобы найти остаток, нужно вычесть часть, пройденную в первый день, из общего пути: $$ \text{Остаток пути} = \text{Длина всего пути} - \text{Расстояние первого дня}. $$

5. Понятие дроби от остатка:

   • Во второй день автомобиль проезжает $\frac{3}{5}$ от остатка пути. Чтобы найти эту часть, нужно умножить остаток пути на $\frac{3}{5}$: $$ \text{Расстояние во второй день} = \text{Остаток пути} \times \frac{3}{5}. $$

6. Проверка:

   • После нахождения расстояний первого и второго дня, полезно проверить, что сумма этих расстояний действительно меньше либо равна длине всего пути.

7. Применение дробей к реальным значениям:

   • Здесь важно помнить, что при умножении дроби на число происходит деление числа на знаменатель дроби, а затем умножение результата на числитель.
   • Например, чтобы найти $\frac{3}{5}$ от какого−то числа, сначала это число делят на 5, а потом умножают на 3.

8. Ключевые математические операции:

   • Умножение дроби на число: $a \times \frac{b}{c} = \frac{a \times b}{c}$, где $a$ — длина пути, $b$ — числитель дроби, $c$ — знаменатель дроби.
   • Вычитание остатка: $a - b = c$, где $a$ — общий путь, $b$ — расстояние, пройденное в первый день, $c$ — оставшийся путь.

Таким образом, шаги решения задачи связаны с последовательным применением этих правил: находить дробь от числа, определять остаток, затем находить дробь от остатка.