У бабушки в темном чулане стоят банки с вареньем трех сортов: яблочное, сливовое и земляничное, по 5 банок каждого сорта. Какое наименьшее количество банок бабушке надо взять не глядя, чтобы среди них наверняка оказалось не менее трех банок с вареньем одного сорта?

Чтобы решить эту задачу, нужно применить метод рассуждения, связанный с принципом «наихудшего случая» и теорией комбинаторики, а именно принципом Дирихле. Этот принцип утверждает, что если объекты распределяются по контейнерам, то при определённых условиях хотя бы один контейнер будет содержать больше объектов, чем остальные.

1. Анализ ситуации:

   • У бабушки есть три сорта варенья: яблочное, сливовое и земляничное.
   • От каждого сорта имеется 5 банок.
   • Мы хотим определить, какое минимальное количество банок бабушке нужно взять, чтобы гарантировать, что среди них будет не менее трёх банок одного сорта.

2. Принцип наихудшего случая:

   • Если бабушка берёт банки вслепую, она не знает, как распределены сорта варенья. Поэтому, чтобы учесть всякие случайные ситуации, нужно рассматривать самый неблагоприятный вариант, в котором банки распределены максимально равномерно между сортами. Это называется «наихудший случай».
   • В данном случае, наихудший случай будет заключаться в том, что бабушка берёт банки так, чтобы перед каждым выбором банка попадалась от разных сортов.

3. Шаги рассуждения:

   • Если бабушка возьмёт банки от двух сортов варенья (например, яблочного и сливового), то она может взять максимум по 5 банок каждого сорта. Это составит $ 5 + 5 = 10 $ банок, и ни одного сорта не будет три. Но если она возьмёт хотя бы одну дополнительную банку, то она обязательно возьмёт третью банку одного из сортов.
   • Если она берёт банки от трёх сортов, то наихудший случай будет таким:
   • Возьмёт $ 2 $ банки яблочного,
   • $ 2 $ банки сливового,
   • $ 2 $ банки земляничного. В этом случае она взяла $ 2 + 2 + 2 = 6 $ банок, и ни один сорт не имеет 3 банки. Но если она возьмёт ещё одну банку, то обязательно появится третий экземпляр какого−то сорта.

4. Заключение:

   • Согласно рассуждениям, для гарантии того, что среди взятых банок будет как минимум 3 банки одного сорта, бабушке нужно взять достаточное количество банок, чтобы «наихудший случай» был преодолён.
   • Исходя из анализа, минимальное количество банок, которое бабушка должна взять, чтобы среди них наверняка оказалось не менее трёх банок одного сорта, равно 7.