Начерти прямоугольник ABCD, ширина которого 3 см, а длина 12 см.
1) Вычисли периметр и площадь этого прямоугольника.
2) Проведи в нем диагонали и обозначь точку их пересечения буквой O.
3) Начерти окружность с центром в точке O и радиусом OA.

Для решения этой задачи необходимо применить знания о прямоугольниках, их свойствах, а также формулы для вычисления периметра, площади, и радиуса окружности. Давайте разберем теоретическую основу:

1. Прямоугольник и его свойства

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (по 90°). Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.

Если прямоугольник имеет длину $l$ и ширину $w$, то:
− Противоположные стороны равны: если одна сторона равна $l$, то противоположная ей также равна $l$, а ширина $w$ равна противоположной $w$.
− Диагонали прямоугольника равны между собой и пересекаются в точке, которая является их серединой.

2. Периметр прямоугольника

Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. У прямоугольника две длины и две ширины, поэтому формула для периметра выглядит так:

$$ P = 2 \cdot (l + w) $$

Где:
− $P$ — периметр,
− $l$ — длина прямоугольника,
− $w$ — ширина прямоугольника.

3. Площадь прямоугольника

Площадь — это величина, показывающая, сколько места занимает фигура. Для прямоугольника площадь вычисляется как произведение длины на ширину:

$$ S = l \cdot w $$

Где:
− $S$ — площадь,
− $l$ — длина,
− $w$ — ширина.

4. Диагонали прямоугольника

Диагональ прямоугольника — это отрезок, соединяющий противоположные вершины. Если длина прямоугольника $l$ и ширина $w$, то длина диагонали $d$ вычисляется по теореме Пифагора:

$$ d = \sqrt{l^2 + w^2} $$

Где:
− $d$ — длина диагонали,
− $l$ — длина прямоугольника,
− $w$ — ширина прямоугольника.

Диагонали пересекаются в точке, которая называется центром прямоугольника или его геометрическим центром. Эта точка делит диагонали пополам.

5. Окружность с центром в точке пересечения диагоналей

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра. Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ее границе.

Если центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей прямоугольника, то радиус окружности равен расстоянию от этой точки до любой вершины прямоугольника. Так как точка пересечения диагоналей делит диагональ пополам, радиус окружности равен половине длины диагонали:

$$ r = \frac{d}{2} $$

Где:
− $r$ — радиус окружности,
− $d$ — длина диагонали.

Для построения окружности нужно знать координаты ее центра (точка $O$) и радиус ($r$).

6. Этапы выполнения задачи

• Построить прямоугольник $ABCD$ с заданными размерами (ширина $w = 3$ см, длина $l = 12$ см).
• Вычислить периметр $P$ и площадь $S$ прямоугольника.
• Найти длину диагоналей $d$ и отметить точку пересечения диагоналей $O$.
• Построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом равным половине длины диагонали ($r = \frac{d}{2}$).

Эти шаги позволяют вам полностью решить задачу!