Результаты рассуждений поэтапно удобно фиксировать на наглядной схеме:

Нам известно, что один из мальчиков взял яблоко. В задаче речь идёт о двух мальчиках − Пете и Феде, поэтому возможны два варианта:
1) Яблоко взял Петя.

2) Яблоко взял Федя.

Дальнейшие рассуждения надо провести для каждого из этих вариантов отдельно.
1) Петя взял не апельсин (он взял яблоко), а Федя взял не банан. Значит, Федя мог взять в этом случае только апельсин.

Тогда Тане достался банан.

2) Петя взял не апельсин, Федя взял не банан, а яблоко. Значит, Петя мог взять в этом случае только банан.

Тогда Тане достался апельсин.

Ответ: 1) Петя взял яблоко, Федя − апельсин, Таня − банан. 2) Петя взял банан, Федя − яблоко, Таня − апельсин.