Как стоят стрелки в 12 часов? На сколько передвинется часовая стрелка, если минутная сделает 3 полных оборота? Как будут расположены стрелки? Какой угол − прямой, острый или тупой − образуют стрелки часов, если сейчас:
а) 2 ч;
б) 4 ч;
в) 5 ч;
г) 7 ч;
д) 11 ч;
е) 9 ч?

Чтобы разобраться с данной задачей и её тонкостями, рассмотрим теоретическую часть, включающую основы работы механизма часов и вычисления углов между стрелками.

1. Стрелки часов в 12 часов
   Когда часы показывают 12:00, обе стрелки (часовая и минутная) находятся на отметке "12", то есть они совпадают и направлены вверх. Угол между ними равен 0 градусов.

2. Общие свойства часовой и минутной стрелок

   • Часовая стрелка за один час проходит одну отметку на циферблате. Всего на часовом циферблате 12 отметок, каждая из которых соответствует углу в 30 градусов (360 градусов / 12 отметок = 30 градусов). Таким образом, часовая стрелка перемещается на 30 градусов за час.
   • Минутная стрелка делает полный оборот (360 градусов) за один час. Если минутная стрелка делает 3 полных оборота, то она проходит путь, равный $ 3 \times 360 = 1080 $ градусов. Однако такие обороты не влияют на положение часовой стрелки.

3. Связь между движением часовой и минутной стрелок

   • Часовая стрелка движется постепенно: она не стоит неподвижно между отметками, а перемещается с течением времени. За одну минуту часовая стрелка проходит $ \frac{30}{60} = 0.5 $ градуса (поскольку за час она движется на 30 градусов, а час состоит из 60 минут).
   • За 60 минут (или 1 час) минутная стрелка делает полный оборот (360 градусов), а часовая стрелка перемещается на 30 градусов.

4. Углы между стрелками
   Чтобы рассчитать угол между часовой и минутной стрелками, нужно учитывать их текущее положение.

   • Положение минутной стрелки определяется числом минут: каждая минута соответствует $ \frac{360}{60} = 6 $ градусам. Например, если минутная стрелка указывает на "5 минут", она располагается на $ 5 \times 6 = 30 $ градусах от отметки "12".
   • Положение часовой стрелки определяется числом часов и минут. Если стрелка показывает на $ h $ часов и $ m $ минут, положение часовой стрелки можно рассчитать как $ h \times 30 + m \times 0.5 $ градусов от отметки "12".

5. Типы углов
   Углы между стрелками часов можно классифицировать как:

   • Острый угол: меньше 90 градусов.
   • Прямой угол: равен 90 градусам.
   • Тупой угол: больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.

Угол между стрелками часов всегда измеряется как меньший угол между двумя направлениями (от 0 до 180 градусов). Если вычисленный угол превышает 180 градусов, нужно взять его дополнение до 360 градусов: $ 360 - \text{вычисленный угол} $.

1. Примеры для указанных часов Для каждого случая, нужно определить положение часовой и минутной стрелок, а затем вычислить угол между ними:
   • 2 часа: Часовая стрелка находится на $ 2 \times 30 = 60 $ градусах, минутная стрелка на "12" (0 градусов). Угол между стрелками будет $ |60 - 0| = 60 $ градусов (острый).
   • 4 часа: Часовая стрелка на $ 4 \times 30 = 120 $ градусах, минутная стрелка на 0 градусов. Угол между стрелками будет $ |120 - 0| = 120 $ градусов (тупой).
   • 5 часов: Часовая стрелка на $ 5 \times 30 = 150 $ градусах, минутная на 0 градусов. Угол между стрелками $ |150 - 0| = 150 $ градусов (тупой).
   • 7 часов: Часовая стрелка на $ 7 \times 30 = 210 $ градусах, минутная на 0 градусов. Угол между стрелками $ |210 - 0| = 210 $, но меньший угол будет $ 360 - 210 = 150 $ градусов (тупой).
   • 11 часов: Часовая стрелка на $ 11 \times 30 = 330 $ градусах, минутная на 0 градусов. Угол $ |330 - 0| = 330 $, меньший угол $ 360 - 330 = 30 $ градусов (острый).
   • 9 часов: Часовая стрелка на $ 9 \times 30 = 270 $ градусах, минутная на 0 градусов. Угол $ |270 - 0| = 270 $, меньший угол $ 360 - 270 = 90 $ градусов (прямой).