Нарисуй диаграммы множеств. Запиши, какое из них является подмножеством другого.
а)
C − множество учеников некоторой школы,
B − множество отличников этой школы.
б)
D − множество девочек некоторого класса,
E − множество всех учеников этого класса.
в)
K − множество рыб,
O − множество окуней.
г)
N − множество натуральных чисел,
M − множество чётных чисел.

Для решения задачи о связях между множествами и их подмножествами важно понимать основные понятия теории множеств, а также уметь работать с диаграммами Венна. Ниже дано подробное объяснение всех необходимых теоретических аспектов.

1. Основные понятия теории множеств:

1.1. Множество — это совокупность определённых объектов, которые называются элементами множества. Например, множество всех учеников в классе, множество натуральных чисел или множество чётных чисел.

1.2. Элемент множества — это каждый отдельный объект, входящий в множество. Например, числа 2, 4, 6 — элементы множества чётных чисел.

1.3. Подмножество — это множество, все элементы которого принадлежат другому множеству. Если каждое значение множества $ A $ также содержится в множестве $ B $, то $ A $ называется подмножеством $ B $. Это записывается как $ A \subseteq B $.

1.4. Совпадение множеств — если $ A $ и $ B $ содержат полностью одинаковые элементы, то они равны. Это записывается как $ A = B $.

1.5. Диаграмма Венна — это графическое представление множества и его подмножеств. Множества изображаются в виде кругов или овальных фигур. Круги, находящиеся внутри других кругов, указывают на подмножества.

2. Как определить подмножество:

Чтобы разобраться, является ли одно множество подмножеством другого, нужно проверить, содержатся ли все элементы одного множества в другом:
− Если $ A \subseteq B $, то все элементы $ A $ содержатся в $ B $.
− Если $ A $ не является подмножеством $ B $, то найдётся хотя бы один элемент из $ A $, который отсутствует в $ B $.

Пример:
− Множество чётных чисел ($ M $) является подмножеством натуральных чисел ($ N $), так как любое чётное число является натуральным числом.
− Множество девочек класса ($ D $) является подмножеством множества всех учеников класса ($ E $), так как каждая девочка относится к ученикам класса.

3. Построение диаграмм Венна:

Для каждого из примеров ниже множество $ A $ и множество $ B $ будут изображаться графически. Если одно множество является подмножеством другого, то круг, представляющий подмножество, будет целиком находиться внутри круга, представляющего основное множество.

4. Разбор теоретической части к задачам:

а) $ C $ — множество учеников школы, $ B $ — множество отличников школы.
Поскольку все отличники школы ($ B $) являются учениками этой школы ($ C $), то $ B $ является подмножеством $ C $: $ B \subseteq C $.
Диаграмма: Один большой круг ($ C $) и внутри него меньший круг ($ B $).

б) $ D $ — множество девочек класса, $ E $ — множество всех учеников класса.
Поскольку все девочки класса ($ D $) входят в общее множество всех учеников этого класса ($ E $), то $ D $ является подмножеством $ E $: $ D \subseteq E $.
Диаграмма: Один большой круг ($ E $) и меньший круг ($ D $) внутри него.

в) $ K $ — множество рыб, $ O $ — множество окуней.
Все окуни ($ O $) — это рыбы ($ K $), значит, множество $ O $ является подмножеством $ K $: $ O \subseteq K $.
Диаграмма: Большой круг ($ K $), содержащий множество всех рыб, и меньший круг ($ O $) внутри него, представляющий окуней.

г) $ N $ — множество натуральных чисел, $ M $ — множество чётных чисел.
Поскольку любое чётное число ($ M $) также является натуральным числом ($ N $), то $ M $ является подмножеством $ N $: $ M \subseteq N $.
Диаграмма: Большой круг ($ N $), содержащий множество всех натуральных чисел, и меньший круг ($ M $), представляющий чётные числа.

5. Итоги:

• Подмножество — это часть множества, все элементы которого входят в другое множество.
• Графически подмножество изображается как круг, целиком находящийся внутри другого круга.
• При анализе множеств важно учитывать их взаимосвязи: если все элементы одного множества принадлежат другому, то первое множество будет подмножеством второго.