Число $\frac{19}{7}$ можно представить в виде суммы двух дробей, например так: $\frac{19}{7} = \frac{14 + 5}{7} = \frac{14}{7} + \frac{5}{7}$. Поскольку $\frac{14}{7} = 2$, то $\frac{19}{7} = 2 + \frac{5}{7}$.
Аналогично можно записать: $\frac{21}{5} = \frac{20 + 1}{5} = \frac{20}{5} + \frac{1}{5} = 4 + \frac{1}{5}$.
каждую из неправильных дробей $\frac{19}{7}$ и $\frac{21}{5}$ мы записали в виде суммы натурального числа и правильной дроби.
Так можно записать любую неправильную дробь, у которой числитель не делится на знаменатель.
Такие суммы, как $2 + \frac{5}{7}$, 4 + $\frac{1}{5}$, принято записывать так: $2\frac{5}{7}$, 4 + $\frac{1}{5}$ = $4\frac{1}{5}$. Число $2\frac{5}{7}$ читают: "две целых пять седьмых", число $4\frac{1}{5}$ читают: "четыре целых одна пятая".
Число $2\frac{5}{7}$ называют смешанным числом. В смешанном числе $2\frac{5}{7}$ натуральное число 2 называют целой частью смешанного числа, а дробь $\frac{5}{7}$ − его дробной частью.
Дробная часть смешанного числа − это правильная дробь.
Вот еще примеры смешанных чисел: $4\frac{1}{5}$, $1\frac{3}{10}$, $9\frac{5}{8}$.
Отметим, что, например, числа: $5\frac{7}{3}$, $1\frac{11}{10}$, $3\frac{7}{7}$ смешанными не являются, поскольку дроби $\frac{7}{3}$, $\frac{11}{10}$, $\frac{7}{7}$ не являются правильными.
Научимся записывать неправильную дробь в виде смешанного числа, т.е. выделять (находить) его целую и дробные части.
Рассмотрим, например число $\frac{22}{5}$. Имеем: $\frac{22}{5}$ = $\frac{20 + 2}{5}$ = $\frac{20}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $4$ + $\frac{2}{5}$ = $4\frac{2}{5}$. А как узнать, что число 22 следует представить именно так: 22 = 20 + 2?
Если выполнить деление с остатком числа 22 на число 5, то получим 22 = 4 * 5 + 2, где число 4 − неполное частное, число 2 − остаток, т.е. 22 = 20 + 2.
Заметим, что число 4 и есть ццелая часть смешанного числа, а число 2 − числитель его дробной части.
Чтобы неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель; полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток − как числитель его дробной части.
Любую неправильную дробь, у которой числитель нацело делится на знаемнатель, можно представить в виде смешанного числа.
Если числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, то эта дробь равна натуральному числу. Например: $\frac{28}{7}$ = $4$, $\frac{63}{9}$ = $7$, $\frac{17}{17}$ = $1$.
Пример 1. Преобразуйте неправильную дробь $\frac{212}{13}$ в смешанное число.
Решение. Разделим числитель дроби на знаменатель:
Неполное частное 16 − это целая часть числа, а остаток 4 − числитель дробной части. Следовательно, $\frac{212}{13} = 16\frac{4}{13}$.
Преобразуем смешанное число $7\frac{2}{3}$ в неправильную дробь. Запишем:
Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, надо целую часьт числа умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а в ее знаемнатель записать знаменатель дробной части смешанного числа.
Например: $5\frac{4}{9}$ = $\frac{5 * 9 + 4}{9}$ = $\frac{49}{9}$.
Отметим, что свойства сложения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел:
a + b = b + a − переместительное свойство сложения,
(a + b) + c = a + (b + c) − сочетательное свойство сложения.
Воспользовавшись этими свойствами, найдем сумму $4\frac{2}{7}$ + $2\frac{3}{7}$.
Имеем: $4\frac{2}{7}$ + $2\frac{3}{7}$ = ($4$ + $\frac{2}{7}$) + ($2$ + $\frac{3}{7}$) = (4 + 2) + ($\frac{2}{7}$ + $\frac{3}{7}$) = 6 + $\frac{5}{7}$ = $6\frac{5}{7}$.
Чтобы сложить два смешанных числа, надо отдельно сложить их целые и дробные части.
Пример 2. Выполните сложение $3\frac{4}{9}$ + $5\frac{7}{9}$.
Решение. Имеем: $3\frac{4}{9}$ + $5\frac{7}{9}$ = $8\frac{11}{9}$ = 8 + $\frac{11}{9}$ = 8 + $1\frac{2}{9}$ = $9\frac{2}{9}$.
Научимся вычитать смешанные числа, дробные части котрых имеют равные знаменатели. Если дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого, то можно восспользоваться следующим правилом.
Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо из целой и дробной частей уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.
Например: $8\frac{19}{20}$ − $6\frac{12}{20}$ = (8 − 6) + ($\frac{19}{20}$ − $\frac{12}{20}$) = 2 + $\frac{7}{20}$ = $2\frac{7}{20}$.
Пример 3. Выполните вычитание:
1) $1 - \frac{13}{17}$;
2) $5\frac{4}{13}$ − $2\frac{9}{13}$.
Решение:
1) Поскольку число 1 можно записать в виде дроби $\frac{17}{17}$, то получаем: 1 − $\frac{13}{17}$ = $\frac{17}{17}$ − $\frac{13}{17}$ = $\frac{4}{17}$.
2) Обратим внимание, что дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, поэтому приведенным правилом воспользоваться нельзя. "Подготовим" уменьшаемое к вычитанию так: $5\frac{4}{13}$ = 5 + $\frac{4}{13}$ = (4 + 1) + $\frac{4}{13}$ = 4 + ($\frac{13}{13}$ + $\frac{4}{13}$) = $4\frac{17}{13}$. Имеем: $5\frac{4}{13}$ − $2\frac{9}{13}$ = $4\frac{17}{13}$ − $2\frac{9}{13}$ = $2\frac{8}{13}$.
