Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей



Может ли числитель дроби быть равным ее знаменателю? Да, может. Действительно, на рисунке 195 прямоугольник разделили на 7 равных частей и все части закрасили. Следовательно, закрашенными оказались $\frac{7}{7}$ прямоугольника, т.е. весь прямоугольник. Значит, $\frac{7}{7}$  прямоугольника равны 1 прямоугольнику, т.е. $\frac{7}{7}$ = 1.

Правильные и неправильные дроби

Рассуждая аналогично, получим, что, например, $\frac{5}{5}$$\frac{17}{17}$ = 1.

Если числитель дроби равен знаменателю, то дробь равна единице.

В буквенном виде этот вывод можно записать так:

$\frac{m}{m}$ = 1

где m − натурально число.

А может ли возникнуть такая "неправильная" ситуация, когда числитель дроби окажется больше знаменателя?

На рисунке 196 изображены два равных прямоугольника, каждый из которых разделен на 7 равных частей. Мы закрасили весь первый прямоугольник и 4 из 7 частей второго прямоугольника. Можно сказать, чтот закрашено $\frac{11}{7}$ прямоугольника.

Правильные и неправильные дроби. Примеры

Обратившись к рисунку 197, можно сказать, что гости, пришедшие на день рождения, могут съесть $\frac{13}{10}$ праздничного торта.

Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной.

Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной.

Например:

дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{17}{584}$ − правильные;

дроби $\frac{7}{5}$$\frac{3}{3}$$\frac{31}{15}$ − неправильные.

На рисунке 198 изображена точка $C(\frac{1}{7})$. Если отрезок OC отложить от точки O 11 раз, то получим точку M, координата которой равна $\frac{11}{7}$.

Правильные и неправильные дроби. Координатный луч

На рисунке 199 закрашено $\frac{2}{7}$ прямоугольника. При этом большая часть ($\frac{5}{7}$ прямоугольника) осталась не закрашенной. Тогда можно сделать вывод, что $\frac{5}{7}$$\frac{2}{7}$.

Сравнение дробей

Этот пример иллюстрирует следующее свойство дробей.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, а меньше та, у которой числитель меньше.

Например, $\frac{5}{9}$$\frac{1}{9}$$\frac{2}{17}$ < $\frac{5}{17}$$\frac{11}{17}$ > $\frac{5}{7}$.

Рассмотрим правильную дробь $\frac{2}{7}$ и неправильную дробь $\frac{11}{9}$. Сравним эти дроби с единицей. Имеем: $\frac{2}{7}$$\frac{7}{7}$, т.е. $\frac{2}{7}$ < 1, а  $\frac{11}{9}$ > $\frac{7}{7}$, т.е. $\frac{11}{9}$ > 1.

Эти примеры иллюстрируют следующее свойство.

Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные − больше или равны единице.

Это свойство позволяет сделать следующий вывод.

Каждая неправильная дробь больше любой правильной дроби, а каждая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.

Например, $\frac{15}{8}$ > $\frac{3}{5}$$\frac{4}{11}$ > $\frac{7}{4}$.

Отметим, что на координатном луче из двух дробей большая дробь расположена правее меньшей.

Например, точка $D(\frac{5}{7})$ лежит правее точки  B($\frac{2}{7}$), так как $\frac{5}{7}$$\frac{2}{7}$ (см. рис. 198).

Рассмотрим два равных прямоугольника (рис. 200) и закрасим $\frac{3}{7}$ одного прямоугольника и $\frac{3}{10}$ второго. Видно, что площадь закрашенной части первого прямоугольника больше площади второго прямоугольника. Тогда получаем, что $\frac{3}{7}$$\frac{3}{10}$.

Этот пример иллюстрирует следующее свойство дробей.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Пример. Найдите все натуральные значения a, при которых одновременно дробь $\frac{5}{a}$ будет правильной, а дробь $\frac{9}{a}$ − неправильной.

Решение. Чтобы дробь $\frac{5}{a}$ была правильной, значение a должно быть больше 5, а чтобы дробь $\frac{9}{a}$ была неправильной, значение a должно быть меньше или равным 9. Тогда a может принимать одно из четырех значений: 6; 7; 8; 9.