Может ли числитель дроби быть равным ее знаменателю? Да, может. Действительно, на рисунке 195 прямоугольник разделили на 7 равных частей и все части закрасили. Следовательно, закрашенными оказались $\frac{7}{7}$ прямоугольника, т.е. весь прямоугольник. Значит, $\frac{7}{7}$ прямоугольника равны 1 прямоугольнику, т.е. $\frac{7}{7}$ = 1.
Рассуждая аналогично, получим, что, например, $\frac{5}{5}$ = $\frac{17}{17}$ = 1.
Если числитель дроби равен знаменателю, то дробь равна единице.
В буквенном виде этот вывод можно записать так:
$\frac{m}{m}$ = 1
где m − натурально число.
А может ли возникнуть такая "неправильная" ситуация, когда числитель дроби окажется больше знаменателя?
На рисунке 196 изображены два равных прямоугольника, каждый из которых разделен на 7 равных частей. Мы закрасили весь первый прямоугольник и 4 из 7 частей второго прямоугольника. Можно сказать, чтот закрашено $\frac{11}{7}$ прямоугольника.
Обратившись к рисунку 197, можно сказать, что гости, пришедшие на день рождения, могут съесть $\frac{13}{10}$ праздничного торта.
Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной.
Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной.
Например:
дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{17}{584}$ − правильные;
дроби $\frac{7}{5}$, $\frac{3}{3}$, $\frac{31}{15}$ − неправильные.
На рисунке 198 изображена точка $C(\frac{1}{7})$. Если отрезок OC отложить от точки O 11 раз, то получим точку M, координата которой равна $\frac{11}{7}$.
На рисунке 199 закрашено $\frac{2}{7}$ прямоугольника. При этом большая часть ($\frac{5}{7}$ прямоугольника) осталась не закрашенной. Тогда можно сделать вывод, что $\frac{5}{7}$ > $\frac{2}{7}$.
Этот пример иллюстрирует следующее свойство дробей.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, а меньше та, у которой числитель меньше.
Например, $\frac{5}{9}$ > $\frac{1}{9}$; $\frac{2}{17}$ < $\frac{5}{17}$; $\frac{11}{17}$ > $\frac{5}{7}$.
Рассмотрим правильную дробь $\frac{2}{7}$ и неправильную дробь $\frac{11}{9}$. Сравним эти дроби с единицей. Имеем: $\frac{2}{7}$ < $\frac{7}{7}$, т.е. $\frac{2}{7}$ < 1, а $\frac{11}{9}$ > $\frac{7}{7}$, т.е. $\frac{11}{9}$ > 1.
Эти примеры иллюстрируют следующее свойство.
Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные − больше или равны единице.
Это свойство позволяет сделать следующий вывод.
Каждая неправильная дробь больше любой правильной дроби, а каждая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.
Например, $\frac{15}{8}$ > $\frac{3}{5}$, $\frac{4}{11}$ > $\frac{7}{4}$.
Отметим, что на координатном луче из двух дробей большая дробь расположена правее меньшей.
Например, точка $D(\frac{5}{7})$ лежит правее точки B($\frac{2}{7}$), так как $\frac{5}{7}$ > $\frac{2}{7}$ (см. рис. 198).
Рассмотрим два равных прямоугольника (рис. 200) и закрасим $\frac{3}{7}$ одного прямоугольника и $\frac{3}{10}$ второго. Видно, что площадь закрашенной части первого прямоугольника больше площади второго прямоугольника. Тогда получаем, что $\frac{3}{7}$ > $\frac{3}{10}$.
Этот пример иллюстрирует следующее свойство дробей.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Пример. Найдите все натуральные значения a, при которых одновременно дробь $\frac{5}{a}$ будет правильной, а дробь $\frac{9}{a}$ − неправильной.
Решение. Чтобы дробь $\frac{5}{a}$ была правильной, значение a должно быть больше 5, а чтобы дробь $\frac{9}{a}$ была неправильной, значение a должно быть меньше или равным 9. Тогда a может принимать одно из четырех значений: 6; 7; 8; 9.
